領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 2x, y \geq 0\}$ 上で、関数 $3y$ を2重積分する問題です。すなわち、 $$ \iint_D 3y\,dx\,dy $$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 2x, y \geq 0\}$ 上で、関数 $3y$ を2重積分する問題です。すなわち、

$$\iint_D 3y\,dx\,dy$$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を調べます。不等式 $x^2 + y^2 \leq 2x$ は、平方完成することで $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$ と変形できます。これは、中心 $(1, 0)$、半径1の円の内部を表します。条件 $y \geq 0$ より、$D$ はこの円の上半分です。

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ とおくと、$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ となります。

円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ を極座標で表します。$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$ より、$x^2 + y^2 = 2x$、すなわち $r^2 = 2r\cos\theta$。よって、$r = 2\cos\theta$ となります。$y \geq 0$ の条件より、$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、積分領域は $0 \leq r \leq 2\cos\theta$, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ となります。

積分を計算します。

\begin{align*} \iint_D 3y\,dx\,dy &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\cos\theta} 3(r\sin\theta) r\,dr\,d\theta \\ &= 3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\cos\theta} r^2\sin\theta \,dr\,d\theta \\ &= 3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{2\cos\theta} \sin\theta \,d\theta \\ &= 3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(2\cos\theta)^3}{3} \sin\theta \,d\theta \\ &= 8 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta \sin\theta \,d\theta \end{align*}

ここで、$u = \cos\theta$ とおくと、$du = -\sin\theta \,d\theta$ となります。$\theta = 0$ のとき $u = 1$、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = 0$。

\begin{align*} 8 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta \sin\theta \,d\theta &= 8 \int_1^0 u^3 (-du) \\ &= 8 \int_0^1 u^3 \,du \\ &= 8 \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 \\ &= 8 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 2 \end{align*}

3. 最終的な答え

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