(1) 関数 $f(x, y) = \frac{e^y}{x^2 + y^2}$ の勾配 $\nabla f(1, 2)$ を求めよ。 (2) 関数 $f(x, y) = x^y$ の勾配 $\nabla f(1, 2)$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x, y) = \frac{e^y}{x^2 + y^2}$ の勾配 $\nabla f(1, 2)$ を求めよ。

(2) 関数 $f(x, y) = x^y$ の勾配 $\nabla f(1, 2)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、勾配を求めるためには、関数 $f(x, y)$ の $x$ と $y$ に関する偏微分を計算する必要があります。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{e^y}{x^2 + y^2}\right) = e^y \frac{-2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-2xe^y}{(x^2 + y^2)^2}$

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{e^y}{x^2 + y^2}\right) = \frac{e^y(x^2 + y^2) - e^y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{e^y(x^2 + y^2 - 2y)}{(x^2 + y^2)^2}$

次に、$\nabla f(x, y) = (f_x(x, y), f_y(x, y))$ に $(x, y) = (1, 2)$ を代入します。

$f_x(1, 2) = \frac{-2(1)e^2}{(1^2 + 2^2)^2} = \frac{-2e^2}{25}$

$f_y(1, 2) = \frac{e^2(1^2 + 2^2 - 2(2))}{(1^2 + 2^2)^2} = \frac{e^2(1 + 4 - 4)}{25} = \frac{e^2}{25}$

したがって、$\nabla f(1, 2) = \left( \frac{-2e^2}{25}, \frac{e^2}{25} \right)$ となります。

(2)

まず、関数 $f(x, y) = x^y$ の $x$ と $y$ に関する偏微分を計算します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (x^y) = yx^{y-1}$

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (x^y) = x^y \ln(x)$

次に、$\nabla f(x, y) = (f_x(x, y), f_y(x, y))$ に $(x, y) = (1, 2)$ を代入します。

$f_x(1, 2) = 2(1)^{2-1} = 2(1) = 2$

$f_y(1, 2) = (1)^2 \ln(1) = 1 \cdot 0 = 0$

したがって、$\nabla f(1, 2) = (2, 0)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\nabla f(1, 2) = \left( \frac{-2e^2}{25}, \frac{e^2}{25} \right)$

(2) $\nabla f(1, 2) = (2, 0)$