与えられた関数について、指定された点の勾配ベクトルを求めたり、特定の方向における方向微分を求めたりする問題です。具体的には、以下の３つの問題があります。 (1) $f(x, y) = e^y / (x^2 + y^2)$ の $\nabla f(1, 2)$ を求める。 (2) $f(x, y) = x^y$ の $\nabla f(1, 2)$ を求める。 (3) $f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ について (a) $\nabla f(-7, 6)$ を求める。 (b) 方向ベクトル $(1, 2)$ をもつ直線 $e$ について $\partial f / \partial e(-7, 6)$ を求める。 (c) $\partial f / \partial l(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ とその方向微分係数を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された点の勾配ベクトルを求めたり、特定の方向における方向微分を求めたりする問題です。具体的には、以下の３つの問題があります。

(1) $f(x, y) = e^y / (x^2 + y^2)$ の $\nabla f(1, 2)$ を求める。

(2) $f(x, y) = x^y$ の $\nabla f(1, 2)$ を求める。

(3) $f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ について

(a) $\nabla f(-7, 6)$ を求める。

(b) 方向ベクトル $(1, 2)$ をもつ直線 $e$ について $\partial f / \partial e(-7, 6)$ を求める。

(c) $\partial f / \partial l(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ とその方向微分係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = e^y / (x^2 + y^2)$ の場合

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^y \cdot \frac{-2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-2xe^y}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{e^y(x^2 + y^2) - e^y \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{e^y(x^2 + y^2 - 2y)}{(x^2 + y^2)^2}$

次に、$\nabla f(1, 2)$ を計算します。

$\nabla f(1, 2) = (\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2), \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2))$

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = \frac{-2(1)e^2}{(1^2 + 2^2)^2} = \frac{-2e^2}{25}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) = \frac{e^2(1^2 + 2^2 - 2(2))}{(1^2 + 2^2)^2} = \frac{e^2(1 + 4 - 4)}{25} = \frac{e^2}{25}$

(2) $f(x, y) = x^y$ の場合

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = yx^{y-1}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^y \ln x$

次に、$\nabla f(1, 2)$ を計算します。

$\nabla f(1, 2) = (\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2), \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2))$

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = 2(1)^{2-1} = 2$

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) = (1)^2 \ln 1 = 0$

(3) $f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ の場合

(a) まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 4y$

次に、$\nabla f(-7, 6)$ を計算します。

$\nabla f(-7, 6) = (\frac{\partial f}{\partial x}(-7, 6), \frac{\partial f}{\partial y}(-7, 6))$

$\frac{\partial f}{\partial x}(-7, 6) = 2(-7) + 3(6) = -14 + 18 = 4$

$\frac{\partial f}{\partial y}(-7, 6) = 3(-7) + 4(6) = -21 + 24 = 3$

(b) 方向ベクトル $(1, 2)$ を持つ直線 $e$ について $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6)$ を求めます。まず、方向ベクトルを単位ベクトルにします。

$u = \frac{(1, 2)}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{(1, 2)}{\sqrt{5}} = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$

方向微分は、$\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6) = \nabla f(-7, 6) \cdot u = (4, 3) \cdot (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}) = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$

(c) $\frac{\partial f}{\partial l}(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ とその方向微分係数を求めます。方向微分が最大となるのは、勾配ベクトルと同じ方向です。

$l = \frac{\nabla f(-7, 6)}{||\nabla f(-7, 6)||} = \frac{(4, 3)}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{(4, 3)}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{(4, 3)}{5} = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

最大となる方向微分係数は、$||\nabla f(-7, 6)|| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla f(1, 2) = (\frac{-2e^2}{25}, \frac{e^2}{25})$

(2) $\nabla f(1, 2) = (2, 0)$

(3) (a) $\nabla f(-7, 6) = (4, 3)$

(b) $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6) = 2\sqrt{5}$

(c) $l = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$, 最大方向微分係数 $= 5$