関数 $y = \cos x$ の $n=4$ のマクローリン展開を求め、与えられた式 $y = 1 - \frac{x^2}{\boxed{ア}!} + \frac{\boxed{イ}\cos(\theta x)}{\boxed{ウ}!}x^4$ の空欄 $\boxed{ア}$, $\boxed{イ}$, $\boxed{ウ}$ に適切なものを入れる問題です。ただし、$0 < \theta < 1$ です。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos x$ の $n=4$ のマクローリン展開を求め、与えられた式

$y = 1 - \frac{x^2}{\boxed{ア}!} + \frac{\boxed{イ}\cos(\theta x)}{\boxed{ウ}!}x^4$

の空欄 $\boxed{ア}$, $\boxed{イ}$, $\boxed{ウ}$ に適切なものを入れる問題です。ただし、$0 < \theta < 1$ です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求めます。

マクローリン展開はテイラー展開の特別な場合で、$a=0$ の場合です。

$f(x) = \cos x$ のとき、

$f(0) = \cos 0 = 1$

$f'(x) = -\sin x$, $f'(0) = -\sin 0 = 0$

$f''(x) = -\cos x$, $f''(0) = -\cos 0 = -1$

$f'''(x) = \sin x$, $f'''(0) = \sin 0 = 0$

$f''''(x) = \cos x$, $f''''(0) = \cos 0 = 1$

$f'''''(x) = -\sin x$.

$\cos x$ のマクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + R_4$

ここで、$R_4$ は剰余項です。剰余項はラグランジュの剰余項を用いると、

$R_4 = \frac{f'''''(\theta x)}{5!}x^5 = \frac{-\sin(\theta x)}{5!}x^5$

と表されます。

$\cos x = 1 + \frac{0}{1!}x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + R_4$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + R_4$

問題文に与えられた式と比較すると、

$y = 1 - \frac{x^2}{\boxed{ア}!} + \frac{\boxed{イ}\cos(\theta x)}{\boxed{ウ}!}x^4$

$\boxed{ア} = 2$

また、剰余項の形から、

$R_4 = \frac{f'''''(\theta x)}{5!}x^5 = \frac{-\sin(\theta x)}{5!}x^5 \neq \frac{\boxed{イ}\cos(\theta x)}{5!}x^4$ となっています。

問題文にある式は、剰余項が異なる形である必要があります。

$n=4$ なので、テイラーの定理により、

$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f'''''(\theta x)}{4!}x^4$

となることはありません。$f'''''(\theta x)$ でなく$f''''(x)$

$f(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{f'''''(\theta x)}{4!}x^4$

問題文の式と見比べると、

$\boxed{ア}=2$

$\boxed{イ} = 1$

$\boxed{ウ} = 4$

です。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 1

ウ: 4