与えられた9つの関数 $f(x)$ に対して、それぞれの導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた9つの関数 $f(x)$ に対して、それぞれの導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ の導関数を求める。

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使う。$u=1$, $v=x^2+1$ より、$u'=0$, $v'=2x$。

よって、$f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2+1) - 1 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ の導関数を求める。

商の微分公式を使う。$u=x$, $v=x^2+1$ より、$u'=1$, $v'=2x$。

よって、$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

(3) $f(x) = \frac{x+2}{x^2+1}$ の導関数を求める。

商の微分公式を使う。$u=x+2$, $v=x^2+1$ より、$u'=1$, $v'=2x$。

よって、$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - (x+2) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - (2x^2+4x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2-4x+1}{(x^2+1)^2}$

(4) $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+x+1}$ の導関数を求める。

商の微分公式を使う。$u=2x+1$, $v=x^2+x+1$ より、$u'=2$, $v'=2x+1$。

よって、$f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2+x+1) - (2x+1) \cdot (2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{2x^2+2x+2 - (4x^2+4x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{-2x^2-2x+1}{(x^2+x+1)^2}$

(5) $f(x) = x^2(5x^3+3)$ の導関数を求める。

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使う。$u=x^2$, $v=5x^3+3$ より、$u'=2x$, $v'=15x^2$。

よって、$f'(x) = 2x(5x^3+3) + x^2(15x^2) = 10x^4+6x + 15x^4 = 25x^4+6x$

(6) $f(x) = x^2(5x^3+3)^5$ の導関数を求める。

積の微分公式を使う。$u=x^2$, $v=(5x^3+3)^5$ より、$u'=2x$。

$v'$ は合成関数の微分を使って $v' = 5(5x^3+3)^4 \cdot (15x^2) = 75x^2(5x^3+3)^4$。

よって、$f'(x) = 2x(5x^3+3)^5 + x^2 \cdot 75x^2(5x^3+3)^4 = (5x^3+3)^4(2x(5x^3+3)+75x^4) = (5x^3+3)^4(10x^4+6x+75x^4) = (5x^3+3)^4(85x^4+6x) = x(5x^3+3)^4(85x^3+6)$

(7) $f(x) = (x^2+3x+2)(x^2-1)$ の導関数を求める。

積の微分公式を使う。$u=x^2+3x+2$, $v=x^2-1$ より、$u'=2x+3$, $v'=2x$。

よって、$f'(x) = (2x+3)(x^2-1) + (x^2+3x+2)(2x) = (2x^3+3x^2-2x-3) + (2x^3+6x^2+4x) = 4x^3+9x^2+2x-3$

(8) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2+x}$ の導関数を求める。

商の微分公式を使う。$u = \sqrt{x}$, $v = 2+x$ より、$u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $v' = 1$。

よって、$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(2+x) - \sqrt{x}(1)}{(2+x)^2} = \frac{\frac{2+x}{2\sqrt{x}} - \frac{2x}{2\sqrt{x}}}{(2+x)^2} = \frac{2+x-2x}{2\sqrt{x}(2+x)^2} = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(2+x)^2}$

(9) $f(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ の導関数を求める。

商の微分公式を使う。$u = \sqrt{x}-1$, $v = \sqrt{x}+1$ より、$u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。

よって、$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{2}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$

(2) $f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

(3) $f'(x) = \frac{-x^2-4x+1}{(x^2+1)^2}$

(4) $f'(x) = \frac{-2x^2-2x+1}{(x^2+x+1)^2}$

(5) $f'(x) = 25x^4+6x$

(6) $f'(x) = x(5x^3+3)^4(85x^3+6)$

(7) $f'(x) = 4x^3+9x^2+2x-3$

(8) $f'(x) = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(2+x)^2}$

(9) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$