関数 $f(x) = x^3 - 2x$ について、以下の問いに答えます。 (1) $x$ が 1 から 4 まで変化するときの平均変化率を求めます。 (2) $x=2$ における微分係数を、定義にしたがって求めます。 (3) 定義にしたがって、導関数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 2x$ について、以下の問いに答えます。

(1) $x$ が 1 から 4 まで変化するときの平均変化率を求めます。

(2) $x=2$ における微分係数を、定義にしたがって求めます。

(3) 定義にしたがって、導関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率の定義は $\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$ です。ここで $a=1$、$b=4$ です。

まず、$f(1)$ と $f(4)$ を計算します。

$f(1) = 1^3 - 2(1) = 1 - 2 = -1$

$f(4) = 4^3 - 2(4) = 64 - 8 = 56$

したがって、平均変化率は $\frac{f(4) - f(1)}{4-1} = \frac{56 - (-1)}{4-1} = \frac{57}{3} = 19$ となります。

(2) 微分係数の定義は $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ です。ここで $a=2$ です。

まず、$f(2)$ を計算します。

$f(2) = 2^3 - 2(2) = 8 - 4 = 4$

次に、$f(2+h)$ を計算します。

$f(2+h) = (2+h)^3 - 2(2+h) = (8 + 12h + 6h^2 + h^3) - (4 + 2h) = h^3 + 6h^2 + 10h + 4$

したがって、微分係数は

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(h^3 + 6h^2 + 10h + 4) - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 + 6h^2 + 10h}{h} = \lim_{h \to 0} (h^2 + 6h + 10) = 0^2 + 6(0) + 10 = 10$ となります。

(3) 導関数の定義は $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ です。

$f(x+h) = (x+h)^3 - 2(x+h) = (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - (2x + 2h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2x - 2h$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2x - 2h) - (x^3 - 2x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2h}{h} = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 - 2) = 3x^2 - 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 平均変化率: 19

(2) 微分係数: 10

(3) 導関数: $3x^2 - 2$