以下の不定積分を計算します。 (1) $\int (3x+1)^5 dx$ (2) $\int \frac{4}{(6x-1)^2} dx$ (3) $\int \sqrt[3]{5-2x} dx$ (4) $\int \frac{1}{\sqrt{3-x}} dx$ (5) $\int e^{4-2x} dx$ (6) $\int \sqrt{e^{x-2}} dx$

はい、承知しました。練習問題15の積分問題を解いていきます。ただし、ここでは問題1から6までを解きます。

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

(1) $\int (3x+1)^5 dx$

(2) $\int \frac{4}{(6x-1)^2} dx$

(3) $\int \sqrt[3]{5-2x} dx$

(4) $\int \frac{1}{\sqrt{3-x}} dx$

(5) $\int e^{4-2x} dx$

(6) $\int \sqrt{e^{x-2}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (3x+1)^5 dx$

置換積分を行います。$u = 3x + 1$ とおくと、$du = 3 dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{3} du$ です。

$\int (3x+1)^5 dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^5 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{1}{18} u^6 + C = \frac{1}{18} (3x+1)^6 + C$

(2) $\int \frac{4}{(6x-1)^2} dx$

置換積分を行います。$u = 6x - 1$ とおくと、$du = 6 dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{6} du$ です。

$\int \frac{4}{(6x-1)^2} dx = \int \frac{4}{u^2} \cdot \frac{1}{6} du = \frac{4}{6} \int u^{-2} du = \frac{2}{3} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{2}{3u} + C = -\frac{2}{3(6x-1)} + C$

(3) $\int \sqrt[3]{5-2x} dx$

置換積分を行います。$u = 5 - 2x$ とおくと、$du = -2 dx$ となります。したがって、$dx = -\frac{1}{2} du$ です。

$\int \sqrt[3]{5-2x} dx = \int u^{\frac{1}{3}} \cdot (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C = -\frac{3}{8} (5-2x)^{\frac{4}{3}} + C$

(4) $\int \frac{1}{\sqrt{3-x}} dx$

置換積分を行います。$u = 3 - x$ とおくと、$du = -dx$ となります。したがって、$dx = -du$ です。

$\int \frac{1}{\sqrt{3-x}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} (-1) du = - \int u^{-\frac{1}{2}} du = - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -2\sqrt{u} + C = -2\sqrt{3-x} + C$

(5) $\int e^{4-2x} dx$

置換積分を行います。$u = 4 - 2x$ とおくと、$du = -2dx$ となります。したがって、$dx = -\frac{1}{2} du$ です。

$\int e^{4-2x} dx = \int e^u (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{4-2x} + C$

(6) $\int \sqrt{e^{x-2}} dx$

$\int \sqrt{e^{x-2}} dx = \int e^{\frac{x-2}{2}} dx = \int e^{\frac{1}{2}x - 1} dx$

置換積分を行います。$u = \frac{1}{2}x - 1$ とおくと、$du = \frac{1}{2} dx$ となります。したがって、$dx = 2 du$ です。

$\int e^{\frac{1}{2}x - 1} dx = \int e^u (2) du = 2 \int e^u du = 2e^u + C = 2e^{\frac{1}{2}x - 1} + C = 2e^{\frac{x-2}{2}} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (3x+1)^5 dx = \frac{1}{18} (3x+1)^6 + C$

(2) $\int \frac{4}{(6x-1)^2} dx = -\frac{2}{3(6x-1)} + C$

(3) $\int \sqrt[3]{5-2x} dx = -\frac{3}{8} (5-2x)^{\frac{4}{3}} + C$

(4) $\int \frac{1}{\sqrt{3-x}} dx = -2\sqrt{3-x} + C$

(5) $\int e^{4-2x} dx = -\frac{1}{2} e^{4-2x} + C$

(6) $\int \sqrt{e^{x-2}} dx = 2e^{\frac{x-2}{2}} + C$