与えられた4つの微分方程式の一般解を求めます。 (1) $x \tan y + (1+x^2) \frac{dy}{dx} = 0$ (2) $\frac{dy}{dx} = (x+y+1)^2$ (3) $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x+y}$ (4) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = xy \cos x$

## 微分方程式の問題

1. 問題の内容

与えられた4つの微分方程式の一般解を求めます。

(1) $x \tan y + (1+x^2) \frac{dy}{dx} = 0$

(2) $\frac{dy}{dx} = (x+y+1)^2$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x+y}$

(4) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = xy \cos x$

2. 解き方の手順

**(1) 分離形微分方程式**

$x \tan y + (1+x^2) \frac{dy}{dx} = 0$

$(1+x^2) \frac{dy}{dx} = -x \tan y$

$\frac{dy}{\tan y} = -\frac{x}{1+x^2} dx$

$\cot y dy = -\frac{x}{1+x^2} dx$

両辺を積分します。

$\int \cot y dy = \int -\frac{x}{1+x^2} dx$

$\int \frac{\cos y}{\sin y} dy = -\frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} dx$

$\ln |\sin y| = -\frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

$\ln |\sin y| + \frac{1}{2} \ln (1+x^2) = C$

$\ln |\sin y| + \ln \sqrt{1+x^2} = C$

$\ln |\sin y \sqrt{1+x^2}| = C$

$\sin y \sqrt{1+x^2} = e^C = A$

$\sin y = \frac{A}{\sqrt{1+x^2}}$

**(2) 置換**

$\frac{dy}{dx} = (x+y+1)^2$

$u = x+y+1$ と置きます。

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$

$\frac{du}{dx} - 1 = u^2$

$\frac{du}{dx} = u^2 + 1$

$\frac{du}{u^2+1} = dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{du}{u^2+1} = \int dx$

$\arctan u = x + C$

$u = \tan (x+C)$

$x+y+1 = \tan (x+C)$

$y = \tan(x+C) - x - 1$

**(3) 同次形微分方程式**

$\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x+y}$

$y = vx$ と置きます。

$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$

$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x-vx}{x+vx} = \frac{1-v}{1+v}$

$x \frac{dv}{dx} = \frac{1-v}{1+v} - v = \frac{1-v -v - v^2}{1+v} = \frac{1-2v-v^2}{1+v}$

$\frac{1+v}{1-2v-v^2} dv = \frac{dx}{x}$

$\int \frac{1+v}{1-2v-v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$

$-\frac{1}{2} \int \frac{-2(1+v)}{1-2v-v^2} dv = \ln |x| + C$

$-\frac{1}{2} \ln |1-2v-v^2| = \ln |x| + C$

$\ln |1-2v-v^2| = -2 \ln |x| + C'$ ($C' = -2C$)

$\ln |1-2v-v^2| + 2 \ln |x| = C'$

$\ln |1-2v-v^2| + \ln x^2 = C'$

$\ln |x^2 (1-2v-v^2)| = C'$

$x^2 (1-2v-v^2) = e^{C'} = A$

$x^2 (1 - 2\frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2}) = A$

$x^2 - 2xy - y^2 = A$

**(4) 1階線形微分方程式**

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = xy \cos x$

積分因子を求めます。

$I(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$

両辺に積分因子を掛けます。

$x \frac{dy}{dx} + y = x^2 y \cos x$

$\frac{d}{dx} (xy) = x^2 y \cos x$

このままでは解けません。問題文を再度確認してください。 問題文に誤りがある可能性があります。

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x \cos x$であれば、両辺に$x$をかけると

$x\frac{dy}{dx} + y = x^2\cos x$

$\frac{d}{dx}(xy) = x^2\cos x$

$xy = \int x^2\cos x dx = x^2\sin x - \int 2x\sin x dx = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$

$y = x\sin x + 2\cos x - \frac{2\sin x}{x} + \frac{C}{x}$

もし問題文が $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = xy \cos x$であれば、ベルヌーイ型なので、 $u= y^{1-1}=y^0$と置き換えることはできず、変数分離形にも持ち込めないため、解くことが難しい。

3. 最終的な答え

(1) $\sin y = \frac{A}{\sqrt{1+x^2}}$

(2) $y = \tan(x+C) - x - 1$

(3) $x^2 - 2xy - y^2 = A$

(4) 問題文が $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x \cos x$の場合、$y = x\sin x + 2\cos x - \frac{2\sin x}{x} + \frac{C}{x}$。

問題文が$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = xy \cos x$の場合、解法は不明。