問題は、関数 $y = 2\sin\theta\cos\theta - 2(\sin\theta + \cos\theta) + 3$ について、$\sin\theta + \cos\theta = t$ とおいたとき、$\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表し、$y$ を $t$ で表す。さらに、得られた $t$ の関数である $y$ の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求める。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

1. 問題の内容

問題は、関数 $y = 2\sin\theta\cos\theta - 2(\sin\theta + \cos\theta) + 3$ について、$\sin\theta + \cos\theta = t$ とおいたとき、$\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表し、$y$ を $t$ で表す。さらに、得られた $t$ の関数である $y$ の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求める。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta + \cos\theta = t$ より、$t^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$。

よって、$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2-1}{2}$ となる。

(2) $y = 2\sin\theta\cos\theta - 2(\sin\theta + \cos\theta) + 3$ に、$\sin\theta + \cos\theta = t$ と $\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2-1}{2}$ を代入すると、

$y = 2\left(\frac{t^2-1}{2}\right) - 2t + 3 = t^2 - 1 - 2t + 3 = t^2 - 2t + 2$。

(3) $y = t^2 - 2t + 2 = (t-1)^2 + 1$ と変形できる。

また、$t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ であり、$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ なので、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$。

(4) $y = (t-1)^2 + 1$ の $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ における最大値と最小値を求める。

$t = 1$ のとき最小値 $y = 1$ となる。

$t = -\sqrt{2}$ のとき最大値 $y = (-\sqrt{2}-1)^2 + 1 = (2 + 2\sqrt{2} + 1) + 1 = 4 + 2\sqrt{2}$ となる。

(5) 最小値を与える $\theta$ を求める。

$t = 1$ のとき、$\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$ より、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$。

$\theta = 0, \frac{\pi}{2}$。

(6) 最大値を与える $\theta$ を求める。

$t = -\sqrt{2}$ のとき、$\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}$ より、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -1$。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$。

$\theta = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi - \pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$。

3. 最終的な答え

$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2-1}{2}$

$y = t^2 - 2t + 2$

最大値: $4+2\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{5\pi}{4}$)

最小値: $1$ ($\theta = 0, \frac{\pi}{2}$)