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問題2では、$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin(\theta - \frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$ を解き、空欄を埋めます。 問題3では、$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解きなさい。 (1) $\sin\theta > \frac{1}{2}$ (2) $\cos\theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\cos\theta > -\frac{1}{\sqrt{2}}$ (4) $\tan\theta > \frac{1}{\sqrt{3}}$

解析学三角関数三角方程式三角不等式
2025/6/19

1. 問題の内容

問題2では、0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、方程式 sin⁡(θ−23π)=−12\sin(\theta - \frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2} を解き、空欄を埋めます。
問題3では、0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、次の不等式を解きなさい。
(1) sin⁡θ>12\sin\theta > \frac{1}{2}
(2) cos⁡θ<−32\cos\theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}
(3) cos⁡θ>−12\cos\theta > -\frac{1}{\sqrt{2}}
(4) tan⁡θ>13\tan\theta > \frac{1}{\sqrt{3}}

2. 解き方の手順

問題2：
θ−23π=t\theta - \frac{2}{3}\pi = t とおくと、アは sin⁡t=−12 \sin t = -\frac{1}{2}。
0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、イは −23π≤θ−23π<43π-\frac{2}{3}\pi \le \theta - \frac{2}{3}\pi < \frac{4}{3}\pi 、すなわち −23π≤t<43π-\frac{2}{3}\pi \le t < \frac{4}{3}\pi。
t=76π,116πt = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi であるから、この範囲で sin⁡t=−12 \sin t = -\frac{1}{2} を解くと、エとオは t=76π,116πt = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi 。
すなわち θ−23π=76π,116π\theta - \frac{2}{3}\pi = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi。
よって θ=76π+46π=116π\theta = \frac{7}{6}\pi + \frac{4}{6}\pi = \frac{11}{6}\pi と θ=116π+46π=156π=52π\theta = \frac{11}{6}\pi + \frac{4}{6}\pi = \frac{15}{6}\pi = \frac{5}{2}\pi。
したがって、カは 116π\frac{11}{6}\pi、キは 52π\frac{5}{2}\pi。
問題3：
(1) sin⁡θ>12\sin\theta > \frac{1}{2} を解く。0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲で sin⁡θ=12\sin\theta = \frac{1}{2} となるのは θ=π6,5π6\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}。sin⁡θ\sin\theta は π6\frac{\pi}{6} と 5π6\frac{5\pi}{6} の間で 12\frac{1}{2} より大きくなるので、解は π6<θ<5π6\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}。
(2) cos⁡θ<−32\cos\theta < -\frac{\sqrt{3}}{2} を解く。0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲で cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} となるのは θ=5π6,7π6\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}。cos⁡θ\cos\theta は 5π6\frac{5\pi}{6} と 7π6\frac{7\pi}{6} の間で −32-\frac{\sqrt{3}}{2} より小さくなるので、解は 5π6<θ<7π6\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{7\pi}{6}。
(3) cos⁡θ>−12\cos\theta > -\frac{1}{\sqrt{2}} を解く。0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲で cos⁡θ=−12\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} となるのは θ=3π4,5π4\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}。cos⁡θ\cos\theta は 00 から 3π4\frac{3\pi}{4}、および 5π4\frac{5\pi}{4} から 2π2\pi の間で −12-\frac{1}{\sqrt{2}} より大きくなるので、解は 0≤θ<3π4,5π4<θ<2π0 \le \theta < \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi。
(4) tan⁡θ>13\tan\theta > \frac{1}{\sqrt{3}} を解く。0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲で tan⁡θ=13\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} となるのは θ=π6,7π6\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}。tan⁡θ\tan\theta は π6\frac{\pi}{6} から π2\frac{\pi}{2}、および 7π6\frac{7\pi}{6} から 3π2\frac{3\pi}{2} の間で 13\frac{1}{\sqrt{3}} より大きくなるので、解は π6<θ<π2,7π6<θ<3π2\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}。

3. 最終的な答え

問題2：
ア： −12-\frac{1}{2}
イ： −23π-\frac{2}{3}\pi
ウ： 43π\frac{4}{3}\pi
エ： 76π\frac{7}{6}\pi
オ： 116π\frac{11}{6}\pi
カ： 116π\frac{11}{6}\pi
キ： 52π\frac{5}{2}\pi
問題3：
(1) π6<θ<5π6\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}
(2) 5π6<θ<7π6\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{7\pi}{6}
(3) 0≤θ<3π4,5π4<θ<2π0 \le \theta < \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi
(4) π6<θ<π2,7π6<θ<3π2\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}

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