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$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 (1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan \theta = -1$ (4) $2\sin \theta + 1 = 0$ (5) $2\cos \theta - 1 = 0$ (6) $\sqrt{3} \tan \theta + 1 = 0$

解析学三角関数方程式三角方程式角度
2025/6/19

1. 問題の内容

0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、次の方程式を解く問題です。
(1) sin⁡θ=12\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}
(2) cos⁡θ=−32\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
(3) tan⁡θ=−1\tan \theta = -1
(4) 2sin⁡θ+1=02\sin \theta + 1 = 0
(5) 2cos⁡θ−1=02\cos \theta - 1 = 0
(6) 3tan⁡θ+1=0\sqrt{3} \tan \theta + 1 = 0

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ=12\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}
sin⁡θ=12\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} となる θ\theta は、θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} と θ=π−π4=3π4\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} です。
(2) cos⁡θ=−32\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡θ=−32\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} となる θ\theta は、θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} と θ=π+π6=7π6\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} です。
(3) tan⁡θ=−1\tan \theta = -1
tan⁡θ=−1\tan \theta = -1 となる θ\theta は、θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4} と θ=7π4\theta = \frac{7\pi}{4} です。
(4) 2sin⁡θ+1=02\sin \theta + 1 = 0
2sin⁡θ=−12\sin \theta = -1
sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{2}
sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{2} となる θ\theta は、θ=π+π6=7π6\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} と θ=2π−π6=11π6\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} です。
(5) 2cos⁡θ−1=02\cos \theta - 1 = 0
2cos⁡θ=12\cos \theta = 1
cos⁡θ=12\cos \theta = \frac{1}{2}
cos⁡θ=12\cos \theta = \frac{1}{2} となる θ\theta は、θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} と θ=2π−π3=5π3\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} です。
(6) 3tan⁡θ+1=0\sqrt{3} \tan \theta + 1 = 0
3tan⁡θ=−1\sqrt{3} \tan \theta = -1
tan⁡θ=−13\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}
tan⁡θ=−13\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} となる θ\theta は、θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6} と θ=11π6\theta = \frac{11\pi}{6} です。

3. 最終的な答え

(1) θ=π4,3π4\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}
(2) θ=5π6,7π6\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}
(3) θ=3π4,7π4\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}
(4) θ=7π6,11π6\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}
(5) θ=π3,5π3\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}
(6) θ=5π6,11π6\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}

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