関数 $y = \sqrt{2+x}$ のマクローリン展開の第 $n+1$ 項を求める問題です。与えられた式を埋める形で答えます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2+x}$ のマクローリン展開の第 $n+1$ 項を求める問題です。与えられた式を埋める形で答えます。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

ここで、$f(x) = \sqrt{2+x}$ です。この関数をマクローリン展開します。

第 $n+1$ 項は $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ で与えられます。

$f(x) = \sqrt{2+x} = \sqrt{2} (1+\frac{x}{2})^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

この関数をマクローリン展開することを考えます。

$(1+x)^p$ のマクローリン展開は

$(1+x)^p = 1 + px + \frac{p(p-1)}{2!}x^2 + \frac{p(p-1)(p-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{p(p-1)\cdots(p-n+1)}{n!}x^n + \cdots$

で与えられます。

今回は $p=\frac{1}{2}$ であり、$x$ が $\frac{x}{2}$ で置き換わっています。

したがって、第 $n+1$ 項は

$\sqrt{2} \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2}-1) \cdots (\frac{1}{2}-n+1)}{n!} (\frac{x}{2})^n$

と表現できます。

したがって、アには $n-1$ が入り、イには $n$ が入り、ウには $n$ が入ります。

3. 最終的な答え

ア: n-1

イ: n

ウ: n