$0 \le x < 2\pi$, $0 \le y < 2\pi$ のとき、連立方程式 $\begin{cases} \sin x + \cos y = \sqrt{3} \\ \cos x + \sin y = -1 \end{cases}$ を満たす $x, y$ を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$, $0 \le y < 2\pi$ のとき、連立方程式

$\begin{cases}

\sin x + \cos y = \sqrt{3} \\

\cos x + \sin y = -1

\end{cases}$

を満たす $x, y$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式を足し合わせます。

$\sin x + \cos y + \cos x + \sin y = \sqrt{3} - 1$

$(\sin x + \cos x) + (\sin y + \cos y) = \sqrt{3} - 1$

次に、それぞれの括弧の中を合成します。

$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) + \sqrt{2} \sin(y + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3} - 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) + \sin(y + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$

また、与えられた連立方程式の1つ目の式から2つ目の式を引きます。

$\sin x + \cos y - (\cos x + \sin y) = \sqrt{3} - (-1)$

$\sin x - \cos x - (\sin y - \cos y) = \sqrt{3} + 1$

$\sin x - \cos x - \sin y + \cos y = \sqrt{3} + 1$

$\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} \sin(y - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3} + 1$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) - \sin(y - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$

与えられた連立方程式

$\begin{cases}

\sin x + \cos y = \sqrt{3} \\

\cos x + \sin y = -1

\end{cases}$

をそれぞれ2乗すると

$\begin{cases}

\sin^2 x + 2 \sin x \cos y + \cos^2 y = 3 \\

\cos^2 x + 2 \cos x \sin y + \sin^2 y = 1

\end{cases}$

これらを足し合わせると

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2(\sin x \cos y + \cos x \sin y) = 4$

$1 + 1 + 2 \sin(x+y) = 4$

$2 \sin(x+y) = 2$

$\sin(x+y) = 1$

したがって、$x+y = \frac{\pi}{2}$ または $x+y = \frac{5\pi}{2}$ です。

連立方程式の2式から

$\cos y = \sqrt{3} - \sin x$

$\sin y = -1 - \cos x$

ここで $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ なので

$(\sqrt{3} - \sin x)^2 + (-1 - \cos x)^2 = 1$

$3 - 2\sqrt{3} \sin x + \sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x = 1$

$3 - 2\sqrt{3} \sin x + 1 + 2\cos x = 0$

$2\sqrt{3} \sin x - 2\cos x = 3$

$x+y = \frac{\pi}{2}$ のとき $y = \frac{\pi}{2} - x$ なので、連立方程式に代入して

$\sin x + \cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sqrt{3}$

$\sin x + \sin x = \sqrt{3}$

$2 \sin x = \sqrt{3}$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = \frac{\pi}{6}$ で、$\cos x + \sin y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \ne -1$ より不適。

$x = \frac{2\pi}{3}$ のとき $y = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$　ではなく$y = \frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$.　条件を満たさない。

$x+y = \frac{5\pi}{2}$の時　$y = \frac{5\pi}{2} -x$

$\cos y = \sqrt{3} - \sin x$

$\cos (\frac{5\pi}{2} -x) = \sin x = \sqrt{3} - \sin x$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.

$x = \frac{\pi}{3}$ の時　$y = \frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{6}$　となり、yは条件を満たさない。

$x = \frac{2\pi}{3}$ の時 $y = \frac{5\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$.

$\cos x + \sin y = \cos \frac{2\pi}{3} + \sin \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = -1$.

$\sin x + \cos y = \sin \frac{2\pi}{3} + \cos \frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

$x = \frac{2\pi}{3}, y = \frac{11\pi}{6}$