$0 \le x < 2\pi$、$0 \le y < 2\pi$ のとき、連立方程式 $\sin x + \cos y = \sqrt{3}$ $\cos x + \sin y = -1$ を満たす $x, y$ を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$、$0 \le y < 2\pi$ のとき、連立方程式

$\sin x + \cos y = \sqrt{3}$

$\cos x + \sin y = -1$

を満たす $x, y$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、二つの式を足し合わせる。

$\sin x + \cos x + \sin y + \cos y = \sqrt{3} - 1$

$\sin x + \cos x$ と $\sin y + \cos y$ をそれぞれ合成する。

$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

$\sin y + \cos y = \sqrt{2} \sin(y + \frac{\pi}{4})$

よって、

$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) + \sqrt{2} \sin(y + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3} - 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) + \sin(y + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$

次に、二つの式を引き算する。

$\sin x - \cos x + \cos y - \sin y = \sqrt{3} - (-1)$

$\sin x - \cos x + \cos y - \sin y = \sqrt{3} + 1$

$\sin x - \cos x$ と $\cos y - \sin y$ をそれぞれ合成する。

$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

$\cos y - \sin y = \sqrt{2} \cos(y + \frac{\pi}{4})$

よって、

$\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) + \sqrt{2} \cos(y + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3} + 1$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) + \cos(y + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$

与えられた連立方程式は、

$\sin x + \cos y = \sqrt{3}$ --- (1)

$\cos x + \sin y = -1$ --- (2)

(1) から $\sin x = \sqrt{3} - \cos y$

(2) から $\cos x = -1 - \sin y$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、

$(\sqrt{3} - \cos y)^2 + (-1 - \sin y)^2 = 1$

$3 - 2\sqrt{3} \cos y + \cos^2 y + 1 + 2\sin y + \sin^2 y = 1$

$3 - 2\sqrt{3} \cos y + 1 + 2\sin y = 0$

$2 \sin y - 2\sqrt{3} \cos y = -4$

$\sin y - \sqrt{3} \cos y = -2$

$2 \sin(y - \frac{\pi}{3}) = -2$

$\sin(y - \frac{\pi}{3}) = -1$

$y - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

$y = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$

$0 \le y < 2\pi$ なので、$y = \frac{11\pi}{6}$

(2) から、$\cos x = -1 - \sin y = -1 - \sin \frac{11\pi}{6} = -1 - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$

$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(1) から、$\sin x = \sqrt{3} - \cos y = \sqrt{3} - \cos \frac{11\pi}{6} = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

したがって、$x = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$(x, y) = (\frac{2\pi}{3}, \frac{11\pi}{6})$