はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。

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5. 問題の内容

曲線 $r = (3\cos t, 3\sin t, 4t)$ について、点 $P(0)$ から $P(2\pi)$ までの曲線の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は以下の式で求められます。

$L = \int_{a}^{b} ||r'(t)|| dt$

ここで、$r'(t)$ は $r(t)$ の導関数、$||r'(t)||$ は $r'(t)$ のノルム（大きさ）です。

まず、$r(t)$ を微分して $r'(t)$ を求めます。

$r'(t) = (-3\sin t, 3\cos t, 4)$

次に、$r'(t)$ のノルムを計算します。

$||r'(t)|| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2 + 4^2} = \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t + 16} = \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t) + 16} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

したがって、$||r'(t)|| = 5$ です。

$P(0)$ から $P(2\pi)$ までの曲線の長さを求めるので、$a = 0$, $b = 2\pi$ とします。

$L = \int_{0}^{2\pi} 5 dt = 5 \int_{0}^{2\pi} dt = 5[t]_{0}^{2\pi} = 5(2\pi - 0) = 10\pi$

3. 最終的な答え

$10\pi$