与えられた曲線 $r(t)$ に対して、単位接線ベクトル $T(t)$ を求める問題です。単位接線ベクトルは、接線ベクトルをその大きさで割ったものです。

はい、承知いたしました。与えられた4つの問題について、単位接線ベクトルを求めます。

1. 問題の内容

与えられた曲線 $r(t)$ に対して、単位接線ベクトル $T(t)$ を求める問題です。単位接線ベクトルは、接線ベクトルをその大きさで割ったものです。

2. 解き方の手順

まず、接線ベクトル $r'(t)$ を求めます。次に、$r'(t)$ の大きさ $||r'(t)||$ を計算します。最後に、単位接線ベクトル $T(t) = \frac{r'(t)}{||r'(t)||}$ を計算します。

3. 最終的な答え

1. $r(t) = (1+t^2, t, 1-t^2)$ の場合:

$r'(t) = (2t, 1, -2t)$

$||r'(t)|| = \sqrt{(2t)^2 + 1^2 + (-2t)^2} = \sqrt{4t^2 + 1 + 4t^2} = \sqrt{8t^2 + 1}$

$T(t) = \frac{(2t, 1, -2t)}{\sqrt{8t^2 + 1}}$

2. $r(t) = (\cos t, \sin t, t^2)$ の場合:

$r'(t) = (-\sin t, \cos t, 2t)$

$||r'(t)|| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + (2t)^2} = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 4t^2} = \sqrt{1 + 4t^2}$

$T(t) = \frac{(-\sin t, \cos t, 2t)}{\sqrt{1 + 4t^2}}$

3. $r(t) = (t^2+t, t^2-t, t)$ の場合:

$r'(t) = (2t+1, 2t-1, 1)$

$||r'(t)|| = \sqrt{(2t+1)^2 + (2t-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4t^2 + 4t + 1 + 4t^2 - 4t + 1 + 1} = \sqrt{8t^2 + 3}$

$T(t) = \frac{(2t+1, 2t-1, 1)}{\sqrt{8t^2 + 3}}$

4. $r(t) = (e^t, e^{-t}, \sqrt{2}t)$ の場合:

$r'(t) = (e^t, -e^{-t}, \sqrt{2})$

$||r'(t)|| = \sqrt{(e^t)^2 + (-e^{-t})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{e^{2t} + e^{-2t} + 2} = \sqrt{(e^t + e^{-t})^2} = e^t + e^{-t}$

$T(t) = \frac{(e^t, -e^{-t}, \sqrt{2})}{e^t + e^{-t}}$