関数 $y = (x^3 + 2x^2)(2x^2 - x)$ の導関数が $y' = 10x^4 + 12x^3 + ax^2$ と表されるとき、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3 + 2x^2)(2x^2 - x)$ の導関数が $y' = 10x^4 + 12x^3 + ax^2$ と表されるとき、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = (x^3 + 2x^2)(2x^2 - x)$ を展開します。

$y = 2x^5 - x^4 + 4x^4 - 2x^3 = 2x^5 + 3x^4 - 2x^3$

次に、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = y' = \frac{d}{dx}(2x^5 + 3x^4 - 2x^3)$

各項を微分すると、

$\frac{d}{dx}(2x^5) = 10x^4$

$\frac{d}{dx}(3x^4) = 12x^3$

$\frac{d}{dx}(-2x^3) = -6x^2$

したがって、

$y' = 10x^4 + 12x^3 - 6x^2$

与えられた導関数 $y' = 10x^4 + 12x^3 + ax^2$ と計算した導関数 $y' = 10x^4 + 12x^3 - 6x^2$ を比較します。

$x^2$ の係数を比較すると、$a = -6$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -6$