以下の4つの和を計算する問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{10} 1$ (2) $\sum_{k=1}^{20} k$ (3) $\sum_{k=1}^{24} k^2$ (4) $\sum_{k=1}^{10} k^3$

1. 問題の内容

以下の4つの和を計算する問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{10} 1$

(2) $\sum_{k=1}^{20} k$

(3) $\sum_{k=1}^{24} k^2$

(4) $\sum_{k=1}^{10} k^3$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{10} 1$ は、1を10回足し合わせるので、

$\sum_{k=1}^{10} 1 = 1 + 1 + ... + 1 = 10$

(2) $\sum_{k=1}^{20} k$ は、1から20までの自然数の和なので、公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \times 21}{2} = 10 \times 21 = 210$

(3) $\sum_{k=1}^{24} k^2$ は、1から24までの自然数の2乗の和なので、公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{24} k^2 = \frac{24(24+1)(2 \times 24+1)}{6} = \frac{24 \times 25 \times 49}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 100 \times 49 = 4900$

(4) $\sum_{k=1}^{10} k^3$ は、1から10までの自然数の3乗の和なので、公式 $\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{10} k^3 = (\frac{10(10+1)}{2})^2 = (\frac{10 \times 11}{2})^2 = (5 \times 11)^2 = 55^2 = 3025$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) 210

(3) 4900

(4) 3025