次の関数の極値を求めよ。 (1) $f(x) = |x|(x+1)$ (2) $f(x) = |x|\sqrt{x+2}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の関数の極値を求めよ。

(1) $f(x) = |x|(x+1)$

(2) $f(x) = |x|\sqrt{x+2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = |x|(x+1)$ について

$x \ge 0$ のとき、 $f(x) = x(x+1) = x^2 + x$

$x < 0$ のとき、 $f(x) = -x(x+1) = -x^2 - x$

したがって、

$f(x) = \begin{cases}

x^2 + x & (x \ge 0) \\

-x^2 - x & (x < 0)

\end{cases}$

導関数を求めると、

$f'(x) = \begin{cases}

2x + 1 & (x > 0) \\

-2x - 1 & (x < 0)

\end{cases}$

$x=0$ において微分可能か確認する。

$f'(+0) = 2(0)+1 = 1$

$f'(-0) = -2(0)-1 = -1$

したがって、$x=0$では微分不可能である。

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、

$2x+1 = 0$ より $x = -1/2$

$-2x-1 = 0$ より $x = -1/2$

$x > 0$ において $f'(x) = 2x+1 > 0$ なので、$f(x)$ は増加関数である。

$x < 0$ において、

$x < -1/2$ のとき $f'(x) = -2x-1 > 0$ なので、$f(x)$ は増加関数である。

$-1/2 < x < 0$ のとき $f'(x) = -2x-1 < 0$ なので、$f(x)$ は減少関数である。

したがって、$x = -1/2$ において極大値をとり、極大値は $f(-1/2) = -(-1/2)^2 - (-1/2) = -1/4 + 1/2 = 1/4$

また、$x = 0$ において、$x<0$ で増加、$x>0$ で増加なので、極値ではない。

(2) $f(x) = |x|\sqrt{x+2}$ について

定義域は $x \ge -2$

$x \ge 0$ のとき、 $f(x) = x\sqrt{x+2}$

$x < 0$ のとき、 $f(x) = -x\sqrt{x+2}$

したがって、

$f(x) = \begin{cases}

x\sqrt{x+2} & (x \ge 0) \\

-x\sqrt{x+2} & (-2 \le x < 0)

\end{cases}$

導関数を求めると、

$f'(x) = \begin{cases}

\sqrt{x+2} + \frac{x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}} & (x > 0) \\

-\sqrt{x+2} - \frac{x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{-2(x+2)-x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{-3x-4}{2\sqrt{x+2}} & (-2 < x < 0)

\end{cases}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、

$3x+4 = 0$ より $x = -4/3$

$-3x-4 = 0$ より $x = -4/3$

$x > 0$ において $f'(x) = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}} > 0$ なので、$f(x)$ は増加関数である。

$-2 < x < 0$ において、

$-2 < x < -4/3$ のとき $f'(x) = \frac{-3x-4}{2\sqrt{x+2}} < 0$ なので、$f(x)$ は減少関数である。

$-4/3 < x < 0$ のとき $f'(x) = \frac{-3x-4}{2\sqrt{x+2}} > 0$ なので、$f(x)$ は増加関数である。

したがって、$x = -4/3$ において極小値をとり、極小値は $f(-4/3) = -(-4/3)\sqrt{-4/3+2} = (4/3)\sqrt{2/3} = (4/3) \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{9}$

また、$x = 0$ において、$x<0$ で増加、$x>0$ で増加なので、極値ではない。

$x = -2$ において、$f(-2) = 0$ であり、$-2<x<0$で$f(x)$は減少するので、$f(-2)=0$は極大値となる。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = |x|(x+1)$

　　極大値：$x = -1/2$ のとき $1/4$

(2) $f(x) = |x|\sqrt{x+2}$

　　極小値：$x = -4/3$ のとき $\frac{4\sqrt{6}}{9}$

極大値：$x = -2$ のとき $0$