次の極限を求めます。 $\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^2 + 5x}{x^2 + x + 1}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^2 + 5x}{x^2 + x + 1}$

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$ のとき、分母と分子の次数が同じであるため、分母と分子を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^2 + 5x}{x^2 + x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{-3x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3 + \frac{5}{x}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{5}{x} \to 0$, $\frac{1}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{-3 + \frac{5}{x}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{-3 + 0}{1 + 0 + 0} = \frac{-3}{1} = -3$

3. 最終的な答え

-3