$\lim_{x \to +0} x^x$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +0} x^x$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^x$ とおきます。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

したがって、

$\lim_{x \to +0} \ln y = \lim_{x \to +0} x \ln x$

$\lim_{x \to +0} x \ln x$ は $0 \cdot (-\infty)$ の不定形なので、$\frac{-\infty}{\infty}$または$\frac{0}{0}$の形に変形してロピタルの定理を適用します。

$x = \frac{1}{\frac{1}{x}}$と変形して、

$\lim_{x \to +0} x \ln x = \lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} (-x) = 0$

したがって、

$\lim_{x \to +0} \ln y = 0$

$\ln y$ の極限が0であることから、$y$ の極限を求めるために、指数関数を適用します。

$\lim_{x \to +0} y = \lim_{x \to +0} e^{\ln y} = e^{\lim_{x \to +0} \ln y} = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +0} x^x = 1$