与えられた各関数のn次導関数（n ≥ 1）を求める問題です。ここでは、関数 (1) $y = \frac{1}{1+x}$、(2) $y = \log(1-x)$、(3) $y = (1+x)^a$、(4) $y = x^2 e^{2x}$、(5) $y = 3^x (x^2 + x)$、(6) $y = x^2 \cos(2x)$、(7) $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$、(8) $y = \frac{e^x}{1-x}$ のn次導関数を求めます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた各関数のn次導関数（n ≥ 1）を求める問題です。ここでは、関数 (1) $y = \frac{1}{1+x}$、(2) $y = \log(1-x)$、(3) $y = (1+x)^a$、(4) $y = x^2 e^{2x}$、(5) $y = 3^x (x^2 + x)$、(6) $y = x^2 \cos(2x)$、(7) $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$、(8) $y = \frac{e^x}{1-x}$ のn次導関数を求めます。

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、n次導関数を求める手順を以下に示します。

(1) $y = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

1階微分：$y' = (-1)(1+x)^{-2}$

2階微分：$y'' = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3}$

3階微分：$y''' = 2(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4}$

一般化すると、$y^{(n)} = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)}$

(2) $y = \log(1-x)$

1階微分：$y' = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

2階微分：$y'' = -(-1)(-1)(1-x)^{-2} = -(1-x)^{-2}$

3階微分：$y''' = -(-1)(-2)(1-x)^{-3} = -2(1-x)^{-3}$

一般化すると、$y^{(n)} = -(n-1)! (1-x)^{-n}$ (n ≥ 1)

より正確には、$y^{(n)} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$

(3) $y = (1+x)^a$

1階微分：$y' = a(1+x)^{a-1}$

2階微分：$y'' = a(a-1)(1+x)^{a-2}$

3階微分：$y''' = a(a-1)(a-2)(1+x)^{a-3}$

一般化すると、$y^{(n)} = a(a-1)(a-2)...(a-n+1)(1+x)^{a-n}$

(4) $y = x^2 e^{2x}$

ライプニッツの公式を使う。$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (e^{2x})^{(n-k)}$

$y^{(n)} = x^2 (2^n e^{2x}) + n(2x) (2^{n-1} e^{2x}) + \frac{n(n-1)}{2} (2) (2^{n-2} e^{2x})$

$y^{(n)} = e^{2x} (2^n x^2 + n 2^n x + n(n-1) 2^{n-2})$

$y^{(n)} = 2^{n-2} e^{2x} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$

(5) $y = 3^x (x^2 + x)$

ライプニッツの公式を使う。

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (3^x)^{(k)} (x^2 + x)^{(n-k)}$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\ln 3)^k 3^x (x^2 + x)^{(n-k)}$

(6) $y = x^2 \cos(2x)$

ライプニッツの公式を使う。

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (\cos(2x))^{(n-k)}$

$y^{(n)} = x^2 (\cos(2x))^{(n)} + n (2x) (\cos(2x))^{(n-1)} + \frac{n(n-1)}{2} (2) (\cos(2x))^{(n-2)}$

(7) $y = \frac{1}{x^2 - x - 2} = \frac{1}{(x-2)(x+1)} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)$

$y = \frac{1}{3} [(x-2)^{-1} - (x+1)^{-1}]$

$y^{(n)} = \frac{1}{3} [(-1)^n n! (x-2)^{-(n+1)} - (-1)^n n! (x+1)^{-(n+1)}]$

$y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{3} \left(\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right)$

(8) $y = \frac{e^x}{1-x}$

1階微分：$y' = \frac{e^x(1-x) - e^x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{e^x - xe^x + e^x}{(1-x)^2} = \frac{e^x (2-x)}{(1-x)^2}$

$y = e^x(1-x)^{-1}$

ライプニッツの公式を使う。

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (e^x)^{(k)} ((1-x)^{-1})^{(n-k)}$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^x (-1)^{n-k} (n-k)! (1-x)^{-(n-k+1)}$

$y^{(n)} = e^x \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k! (n-k)!} \frac{(-1)^{n-k} (n-k)!}{(1-x)^{n-k+1}}$

$y^{(n)} = n! e^x \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k}}{k! (1-x)^{n-k+1}}$

$y^{(n)} = n! e^x \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k}}{k! (1-x)^{n-k+1}}$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

(2) $y^{(n)} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$

(3) $y^{(n)} = a(a-1)(a-2)...(a-n+1)(1+x)^{a-n}$

(4) $y^{(n)} = 2^{n-2} e^{2x} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$

(5) $y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\ln 3)^k 3^x (x^2 + x)^{(n-k)}$

(6) $y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (\cos(2x))^{(n-k)}$

(7) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{3} \left(\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right)$

(8) $y^{(n)} = n! e^x \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k}}{k! (1-x)^{n-k+1}}$