$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、以下の(1)方程式と(2)不等式を解く。 (1) $\sin 2x = \cos x$ (2) $2\cos 2x + 8\sin x - 5 \le 0$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、以下の(1)方程式と(2)不等式を解く。

(1) $\sin 2x = \cos x$

(2) $2\cos 2x + 8\sin x - 5 \le 0$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 2x = \cos x$ について

倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いると、

$2 \sin x \cos x = \cos x$

$\cos x (2 \sin x - 1) = 0$

したがって、 $\cos x = 0$ または $\sin x = \frac{1}{2}$

$\cos x = 0$ のとき、$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\sin x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $2\cos 2x + 8\sin x - 5 \le 0$ について

倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、

$2(1 - 2\sin^2 x) + 8\sin x - 5 \le 0$

$2 - 4\sin^2 x + 8\sin x - 5 \le 0$

$-4\sin^2 x + 8\sin x - 3 \le 0$

$4\sin^2 x - 8\sin x + 3 \ge 0$

$(2\sin x - 1)(2\sin x - 3) \ge 0$

ここで、$2\sin x - 3 < 0$ であるから、$2\sin x - 1 \le 0$ が必要。

したがって、$\sin x \le \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で $\sin x \le \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲は、

$0 \le x \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

(2) $0 \le x \le \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \le x < 2\pi$