与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 2} \frac{\log(\cos(x-2))}{1-\sin(\frac{\pi x}{4})}$ (2) $\lim_{x\to 0+} x^{e^x-1}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 2} \frac{\log(\cos(x-2))}{1-\sin(\frac{\pi x}{4})}$

(2) $\lim_{x\to 0+} x^{e^x-1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 2} \frac{\log(\cos(x-2))}{1-\sin(\frac{\pi x}{4})}$ について

$x \to 2$のとき、$\cos(x-2) \to 1$ なので $\log(\cos(x-2)) \to 0$ となり、また $\sin(\frac{\pi x}{4}) \to \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ なので、 $1-\sin(\frac{\pi x}{4}) \to 0$ となります。したがって、これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

分子を微分すると、$\frac{d}{dx} \log(\cos(x-2)) = \frac{-\sin(x-2)}{\cos(x-2)} = -\tan(x-2)$ となります。

分母を微分すると、$\frac{d}{dx} (1-\sin(\frac{\pi x}{4})) = -\cos(\frac{\pi x}{4}) \cdot \frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、

$\lim_{x\to 2} \frac{-\tan(x-2)}{-\frac{\pi}{4} \cos(\frac{\pi x}{4})} = \lim_{x\to 2} \frac{\tan(x-2)}{\frac{\pi}{4} \cos(\frac{\pi x}{4})} = \frac{\tan(0)}{\frac{\pi}{4} \cos(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{\frac{\pi}{4} \cdot 0} = \frac{0}{0}$

再度ロピタルの定理を使います。

$\frac{d}{dx} \tan(x-2) = \frac{1}{\cos^2(x-2)}$

$\frac{d}{dx} \frac{\pi}{4} \cos(\frac{\pi x}{4}) = \frac{\pi}{4} \cdot (-\sin(\frac{\pi x}{4})) \cdot \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi^2}{16} \sin(\frac{\pi x}{4})$

したがって、

$\lim_{x\to 2} \frac{\frac{1}{\cos^2(x-2)}}{-\frac{\pi^2}{16} \sin(\frac{\pi x}{4})} = \frac{\frac{1}{\cos^2(0)}}{-\frac{\pi^2}{16} \sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{-\frac{\pi^2}{16}} = -\frac{16}{\pi^2}$

(2) $\lim_{x\to 0+} x^{e^x-1}$ について

$y = x^{e^x-1}$ とおくと $\log y = (e^x-1) \log x$ となります。

$\lim_{x \to 0+} (e^x-1) \log x$ を計算します。これは $0 \cdot (-\infty)$ の不定形です。

$\lim_{x \to 0+} \frac{e^x-1}{\frac{1}{\log x}}$ と変形すると $\frac{0}{0}$ の不定形になるので、ロピタルの定理を使います。

$\frac{d}{dx} (e^x-1) = e^x$

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{\log x}) = -\frac{1}{x(\log x)^2}$

$\lim_{x \to 0+} \frac{e^x}{-\frac{1}{x(\log x)^2}} = \lim_{x \to 0+} -e^x x (\log x)^2 = -\lim_{x \to 0+} e^x x (\log x)^2 = 0$

$\lim_{x \to 0+} \log y = 0$ なので、$\lim_{x \to 0+} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{16}{\pi^2}$

(2) $1$