与えられた式を微分する問題です。式は次の通りです。 $\frac{1}{(t+1)(t+2)^2}\frac{d}{dt}\{(t+1)^2(t+2)^3\}$

1. 問題の内容

与えられた式を微分する問題です。式は次の通りです。

$\frac{1}{(t+1)(t+2)^2}\frac{d}{dt}\{(t+1)^2(t+2)^3\}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{d}{dt}\{(t+1)^2(t+2)^3\}$ の部分を計算します。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = (t+1)^2$, $v = (t+2)^3$ とすると、

$u' = 2(t+1)$

$v' = 3(t+2)^2$

したがって、

$\frac{d}{dt}\{(t+1)^2(t+2)^3\} = 2(t+1)(t+2)^3 + (t+1)^2 \cdot 3(t+2)^2$

$= (t+1)(t+2)^2[2(t+2) + 3(t+1)]$

$= (t+1)(t+2)^2[2t+4+3t+3]$

$= (t+1)(t+2)^2(5t+7)$

次に、与えられた式全体を計算します。

$\frac{1}{(t+1)(t+2)^2}\frac{d}{dt}\{(t+1)^2(t+2)^3\} = \frac{1}{(t+1)(t+2)^2}(t+1)(t+2)^2(5t+7)$

$= 5t+7$

3. 最終的な答え

$5t+7$