与えられた関数について、$n$ 次導関数 ($n \ge 1$)を求める問題です。ここでは、問題番号2の関数、$y = \log(1-x)$ について解きます。

はい、承知いたしました。問題の指示に従い、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた関数について、$n$ 次導関数 ($n \ge 1$)を求める問題です。ここでは、問題番号2の関数、$y = \log(1-x)$ について解きます。

2. 解き方の手順

まず、$y = \log(1-x)$ の1階微分を計算します。

$y' = \frac{d}{dx} \log(1-x) = \frac{1}{1-x} \cdot (-1) = -\frac{1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

次に、$y$ の2階微分を計算します。

$y'' = \frac{d}{dx} \left(-(1-x)^{-1}\right) = -(-1)(1-x)^{-2}(-1) = -(1-x)^{-2} = -\frac{1}{(1-x)^2}$

次に、$y$ の3階微分を計算します。

$y''' = \frac{d}{dx} \left(-(1-x)^{-2}\right) = -(-2)(1-x)^{-3}(-1) = -2(1-x)^{-3} = -\frac{2}{(1-x)^3}$

同様に、$y$ の4階微分を計算します。

$y^{(4)} = \frac{d}{dx} \left(-2(1-x)^{-3}\right) = -2(-3)(1-x)^{-4}(-1) = -6(1-x)^{-4} = -\frac{6}{(1-x)^4}$

以上より、$n$ 階微分は次のようになると推測できます。

$y^{(n)} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$

これを数学的帰納法で証明することもできますが、ここでは省略します。

3. 最終的な答え

$y = \log(1-x)$ の $n$ 次導関数は次のようになります。

$y^{(n)} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$