以下の4つの関数の導関数 $y'$ を求めます。 * $y = 3^x (x^2 + x)$ * $y = x^2 \cos(2x)$ * $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$ * $y = \frac{e^x}{1-x}$

はい、承知いたしました。画像に写っている4つの関数について、微分を計算します。

1. 問題の内容

以下の4つの関数の導関数 $y'$ を求めます。

* $y = 3^x (x^2 + x)$

* $y = x^2 \cos(2x)$

* $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$

* $y = \frac{e^x}{1-x}$

2. 解き方の手順

* 関数1: $y = 3^x (x^2 + x)$

積の微分公式: $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = 3^x$ とすると $u' = 3^x \ln 3$

$v = x^2 + x$ とすると $v' = 2x + 1$

$y' = (3^x \ln 3)(x^2 + x) + (3^x)(2x + 1)$

$y' = 3^x [ (x^2 + x)\ln 3 + 2x + 1]$

* 関数2: $y = x^2 \cos(2x)$

積の微分公式: $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = x^2$ とすると $u' = 2x$

$v = \cos(2x)$ とすると $v' = -2\sin(2x)$

$y' = (2x)\cos(2x) + (x^2)(-2\sin(2x))$

$y' = 2x\cos(2x) - 2x^2\sin(2x)$

* 関数3: $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$

合成関数の微分公式と商の微分公式を使います。$y = (x^2 - x - 2)^{-1}$と見なせます。

$y' = -(x^2 - x - 2)^{-2}(2x - 1)$

$y' = \frac{-(2x-1)}{(x^2-x-2)^2}$

$y' = \frac{1-2x}{(x^2-x-2)^2}$

* 関数4: $y = \frac{e^x}{1-x}$

商の微分公式: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

$u = e^x$ とすると $u' = e^x$

$v = 1 - x$ とすると $v' = -1$

$y' = \frac{e^x(1-x) - e^x(-1)}{(1-x)^2}$

$y' = \frac{e^x - xe^x + e^x}{(1-x)^2}$

$y' = \frac{2e^x - xe^x}{(1-x)^2}$

$y' = \frac{e^x(2-x)}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

* $y = 3^x (x^2 + x)$ のとき、 $y' = 3^x [ (x^2 + x)\ln 3 + 2x + 1]$

* $y = x^2 \cos(2x)$ のとき、 $y' = 2x\cos(2x) - 2x^2\sin(2x)$

* $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$ のとき、$y' = \frac{1-2x}{(x^2-x-2)^2}$

* $y = \frac{e^x}{1-x}$ のとき、$y' = \frac{e^x(2-x)}{(1-x)^2}$