関数 $y = a\sin{x} + b\cos{x}$ は $x = \frac{\pi}{6}$ で最大値をとり、最小値は $-5$ である。定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = a\sin{x} + b\cos{x}$ は $x = \frac{\pi}{6}$ で最大値をとり、最小値は $-5$ である。定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = a\sin{x} + b\cos{x}$ を三角関数の合成により変形する。

$y = \sqrt{a^2 + b^2}\sin{(x + \alpha)}$ （ただし、$\cos{\alpha} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin{\alpha} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$）

この関数は、最大値が $\sqrt{a^2 + b^2}$、最小値が $-\sqrt{a^2 + b^2}$ である。

問題文より、最小値が $-5$ なので、$-\sqrt{a^2 + b^2} = -5$ である。

よって、$\sqrt{a^2 + b^2} = 5$。

したがって、$a^2 + b^2 = 25$ ...(1)

また、最大値をとるのが $x = \frac{\pi}{6}$ なので、$x + \alpha = \frac{\pi}{2}$ となる。

つまり、$\frac{\pi}{6} + \alpha = \frac{\pi}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ となる。

$\cos{\alpha} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin{\alpha} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ であったから、

$\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{a}{5}$ かつ $\sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{b}{5}$

$\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}, \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\frac{a}{5} = \frac{1}{2}$ かつ $\frac{b}{5} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a = \frac{5}{2}$ かつ $b = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

(1)に代入して確認する。

$a^2 + b^2 = (\frac{5}{2})^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{25 \times 3}{4} = \frac{25 + 75}{4} = \frac{100}{4} = 25$

3. 最終的な答え

$a = \frac{5}{2}$

$b = \frac{5\sqrt{3}}{2}$