点 $(0, 2)$ から曲線 $y = x^3 - x^2 - 1$ に引いた接線の方程式をすべて求める。

1. 問題の内容

点 $(0, 2)$ から曲線 $y = x^3 - x^2 - 1$ に引いた接線の方程式をすべて求める。

2. 解き方の手順

接点を $(t, t^3 - t^2 - 1)$ とおく。

$y = x^3 - x^2 - 1$ を微分すると $y' = 3x^2 - 2x$ となる。

点 $(t, t^3 - t^2 - 1)$ における接線の方程式は

$y - (t^3 - t^2 - 1) = (3t^2 - 2t)(x - t)$

$y = (3t^2 - 2t)x - 3t^3 + 2t^2 + t^3 - t^2 - 1$

$y = (3t^2 - 2t)x - 2t^3 + t^2 - 1$

この接線が点 $(0, 2)$ を通るので

$2 = (3t^2 - 2t)(0) - 2t^3 + t^2 - 1$

$2 = -2t^3 + t^2 - 1$

$2t^3 - t^2 + 3 = 0$

$(t+1)(2t^2 - 3t + 3) = 0$

$2t^2 - 3t + 3 = 0$ の判別式は $D = (-3)^2 - 4(2)(3) = 9 - 24 = -15 < 0$ より実数解を持たない。

したがって $t = -1$。

接点は $(-1, (-1)^3 - (-1)^2 - 1) = (-1, -1 - 1 - 1) = (-1, -3)$

接線の傾きは $3(-1)^2 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$

接線の方程式は $y - (-3) = 5(x - (-1))$

$y + 3 = 5(x + 1)$

$y = 5x + 5 - 3$

$y = 5x + 2$

3. 最終的な答え

$y = 5x + 2$