## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{2x+1}{x^2 + x - 1} dx$

(2) $\int \frac{e^x}{e^x + 1} dx$

(3) $\int \frac{1}{\tan x} dx$

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2. 解き方の手順

**(1) $\int \frac{2x+1}{x^2 + x - 1} dx$**

被積分関数の分子が分母の微分になっていることに着目します。

1. $u = x^2 + x - 1$ と置換します。

2. すると、$du = (2x + 1) dx$ となります。

3. よって、積分は $\int \frac{1}{u} du$ となります。

4. この積分は $\log |u| + C$ となります。（$C$は積分定数）

5. $u$ を元に戻して $\log |x^2 + x - 1| + C$ となります。

**(2) $\int \frac{e^x}{e^x + 1} dx$**

被積分関数の分子が分母の微分になっていることに着目します。

1. $u = e^x + 1$ と置換します。

2. すると、$du = e^x dx$ となります。

3. よって、積分は $\int \frac{1}{u} du$ となります。

4. この積分は $\log |u| + C$ となります。（$C$は積分定数）

5. $u$ を元に戻して $\log |e^x + 1| + C$ となります。

$e^x + 1$ は常に正なので、$\log(e^x + 1) + C$ と書けます。

**(3) $\int \frac{1}{\tan x} dx$**

1. $\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$ と書き換えます。

2. $u = \sin x$ と置換します。

3. すると、$du = \cos x dx$ となります。

4. よって、積分は $\int \frac{1}{u} du$ となります。

5. この積分は $\log |u| + C$ となります。（$C$は積分定数）

6. $u$ を元に戻して $\log |\sin x| + C$ となります。

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3. 最終的な答え

(1) $\log |x^2 + x - 1| + C$

(2) $\log (e^x + 1) + C$

(3) $\log |\sin x| + C$