媒介変数表示された曲線 $x = 3\cos\theta, y = 2\sin\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = 3\cos\theta, y = 2\sin\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ より、$\theta$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、$x$ は $3$ から $-3$ まで変化します。

面積 $S$ は、積分を用いて

$S = \int_{-3}^{3} y\, dx$

と表されます。

媒介変数表示されているので、$dx = \frac{dx}{d\theta} d\theta$ を計算します。

$x = 3\cos\theta$ を $\theta$ で微分すると、

$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin\theta$

となります。

$S = \int_{-3}^{3} y\, dx = \int_{\pi}^{0} (2\sin\theta)(-3\sin\theta) d\theta = -6 \int_{\pi}^{0} \sin^2\theta \, d\theta = 6 \int_{0}^{\pi} \sin^2\theta \, d\theta$

となります。

ここで、$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$S = 6 \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = 3 \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2\theta)) d\theta$

$= 3 \left[ \theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{0}^{\pi} = 3 \left[ (\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi)) - (0 - \frac{1}{2}\sin(0)) \right]$

$= 3 (\pi - 0 - 0 + 0) = 3\pi$

となります。

3. 最終的な答え

$3\pi$