与えられた関数 $f(x)$ が、指定された $x$ の値において連続であるか不連続であるかを調べる問題です。ただし、$[x]$ はガウス記号を表し、$x$ を超えない最大の整数を表します。以下の6つの関数について調べます。 (1) $f(x) = \sqrt{x-2}$ (x=4) (2) $f(x) = \frac{|x|}{x}$ (x=3) (3) $f(x) = [x]$ (x=0) (4) $f(x) = [|x|]$ (x=0) (5) $f(x) = [\sin x]$ (x=π) (6) $f(x) = [\sin x]$ (x=π/2)

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が、指定された $x$ の値において連続であるか不連続であるかを調べる問題です。ただし、$[x]$ はガウス記号を表し、$x$ を超えない最大の整数を表します。以下の6つの関数について調べます。

(1) $f(x) = \sqrt{x-2}$ (x=4)

(2) $f(x) = \frac{|x|}{x}$ (x=3)

(3) $f(x) = [x]$ (x=0)

(4) $f(x) = [|x|]$ (x=0)

(5) $f(x) = [\sin x]$ (x=π)

(6) $f(x) = [\sin x]$ (x=π/2)

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

(1) $f(a)$ が定義されている

(2) $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する

(3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

これらの条件を各関数について確認します。

(1) $f(x) = \sqrt{x-2}$ (x=4)

$f(4) = \sqrt{4-2} = \sqrt{2}$

$\lim_{x \to 4} \sqrt{x-2} = \sqrt{4-2} = \sqrt{2}$

よって、連続です。

(2) $f(x) = \frac{|x|}{x}$ (x=3)

$f(3) = \frac{|3|}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$\lim_{x \to 3} \frac{|x|}{x} = \frac{|3|}{3} = 1$

よって、連続です。

(3) $f(x) = [x]$ (x=0)

$f(0) = [0] = 0$

$\lim_{x \to 0^+} [x] = 0$

$\lim_{x \to 0^-} [x] = -1$

$\lim_{x \to 0} [x]$ は存在しないため、不連続です。

(4) $f(x) = [|x|]$ (x=0)

$f(0) = [|0|] = [0] = 0$

$\lim_{x \to 0} [|x|]$

$x \to 0^+$ のとき、$[|x|] = 0$

$x \to 0^-$ のとき、$[|x|] = 0$

よって、$\lim_{x \to 0} [|x|] = 0$

したがって、連続です。

(5) $f(x) = [\sin x]$ (x=π)

$f(π) = [\sin π] = [0] = 0$

$\lim_{x \to π} [\sin x] = 0$

よって、連続です。

(6) $f(x) = [\sin x]$ (x=π/2)

$f(π/2) = [\sin (π/2)] = [1] = 1$

$\lim_{x \to π/2} [\sin x] = 0$ ではないので、調べます

$\lim_{x \to (π/2)^-} [\sin x] = 0$

$\lim_{x \to (π/2)^+} [\sin x] = 0$

したがって、$\lim_{x \to \pi/2} [\sin x] = 0$.

これは $f(π/2) = 1$ と異なるので、不連続です。

3. 最終的な答え

(1) 連続

(2) 連続

(3) 不連続

(4) 連続

(5) 連続

(6) 不連続