以下の3つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{\cos 3x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$ (3) $\lim_{x \to +0} x^2 (\log x)^3$

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{\cos 3x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$

(3) $\lim_{x \to +0} x^2 (\log x)^3$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{\cos 3x}$

$x$ が $0$ に近づくとき、$\cos 2x$ は $1$ に近づき、$\cos 3x$ も $1$ に近づきます。したがって、この極限は不定形ではありません。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{\cos 3x} = \frac{\cos(2 \cdot 0)}{\cos(3 \cdot 0)} = \frac{\cos 0}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ なので、ロピタルの定理を使います。$\tan x$ のマクローリン展開を利用する方法もあります。今回はロピタルの定理を適用します。

まず、1回微分します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan^2 x}{3x^2} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan x}{x} \right)^2$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ なので、

$$\frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan x}{x} \right)^2 = \frac{1}{3} (1)^2 = \frac{1}{3}$$

(別の方法：テイラー展開)

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$ を用いると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{(x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots) - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{3} + \frac{2x^2}{15} + \dots \right) = \frac{1}{3}$$

(3) $\lim_{x \to +0} x^2 (\log x)^3$

これは $0 \cdot (-\infty)$ の形なので、変形してロピタルの定理を使える形にします。

$$\lim_{x \to +0} x^2 (\log x)^3 = \lim_{x \to +0} \frac{(\log x)^3}{\frac{1}{x^2}}$$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理を使えます。

1回微分すると、

$$\lim_{x \to +0} \frac{3 (\log x)^2 \cdot \frac{1}{x}}{-\frac{2}{x^3}} = \lim_{x \to +0} \frac{3 (\log x)^2}{-\frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to +0} -\frac{3}{2} x^2 (\log x)^2$$

再度 $\frac{\infty}{\infty}$ の形であるため、再度ロピタルの定理を適用します。

2回微分すると、

$$\lim_{x \to +0} -\frac{3}{2} \frac{(\log x)^2}{1/x^2} = \lim_{x \to +0} -\frac{3}{2} \frac{2 (\log x) (1/x)}{-2/x^3} = \lim_{x \to +0} \frac{3}{2} \frac{\log x}{-1/x^2} = \lim_{x \to +0} \frac{3}{2} (-x^2 \log x)$$

3回微分すると、

$$\lim_{x \to +0} \frac{3}{2} (-x^2 \log x) = \lim_{x \to +0} -\frac{3}{2} \frac{\log x}{1/x^2} = \lim_{x \to +0} -\frac{3}{2} \frac{1/x}{-2/x^3} = \lim_{x \to +0} \frac{3}{4} x^2 = 0$$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1/3

(3) 0