次の3つの不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{2x+1}{x^2+x-1} dx$ (2) $\int \frac{e^x}{e^x+1} dx$ (3) $\int \tan x dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{2x+1}{x^2+x-1} dx$

(2) $\int \frac{e^x}{e^x+1} dx$

(3) $\int \tan x dx$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + x - 1 = t$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = 2x + 1$ より $dt = (2x+1)dx$となる。

したがって、

$\int \frac{2x+1}{x^2+x-1} dx = \int \frac{1}{t} dt = \log |t| + C = \log |x^2 + x - 1| + C$

ここで、$C$は積分定数である。

(2)

$e^x+1=t$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = e^x$ より $dt = e^x dx$となる。

したがって、

$\int \frac{e^x}{e^x+1} dx = \int \frac{1}{t} dt = \log |t| + C = \log |e^x+1| + C = \log (e^x+1) + C$

ここで、$C$は積分定数である。$e^x+1>0$なので絶対値記号を外しました。

(3)

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$

$\cos x = t$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = -\sin x$ より $dt = -\sin x dx$となる。

したがって、

$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{-1}{t} dt = -\log |t| + C = -\log |\cos x| + C = \log |\cos x|^{-1} + C = \log \left| \frac{1}{\cos x} \right| + C = \log |\sec x| + C$

ここで、$C$は積分定数である。

3. 最終的な答え

(1) $\log |x^2 + x - 1| + C$

(2) $\log (e^x+1) + C$

(3) $\log |\sec x| + C$