次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 $x = \sin t$ $y = \sin 2t$ ($\frac{\pi}{2} \leq t \leq \pi$)

1. 問題の内容

次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。

$x = \sin t$

$y = \sin 2t$ ($\frac{\pi}{2} \leq t \leq \pi$)

2. 解き方の手順

まず、面積Sを積分で表すことを考えます。

$S = \int y dx$

ここで、$x = \sin t$なので、$dx = \cos t dt$となります。

また、積分区間はtの値で与えられているので、そのまま使えます。よって、

$S = \int_{\pi/2}^{\pi} \sin 2t \cos t dt$

倍角の公式を用いて、$\sin 2t = 2\sin t \cos t$と変形すると、

$S = \int_{\pi/2}^{\pi} 2\sin t \cos^2 t dt$

ここで、$u = \cos t$と置換すると、$du = -\sin t dt$となります。

積分区間は、$t = \pi/2$のとき$u = \cos (\pi/2) = 0$、$t = \pi$のとき$u = \cos \pi = -1$となります。

よって、

$S = \int_{0}^{-1} 2u^2 (-du) = -2 \int_{0}^{-1} u^2 du = 2 \int_{-1}^{0} u^2 du$

$S = 2 \left[ \frac{1}{3} u^3 \right]_{-1}^{0} = 2 \left[ \frac{1}{3}(0^3) - \frac{1}{3} (-1)^3 \right] = 2 \left[ 0 - \frac{1}{3} (-1) \right] = 2 \left[ \frac{1}{3} \right] = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$