問題は2つあります。 1つ目は $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$ の値を求める問題です。 2つ目は $\lim_{x \to +0} x^2 (\log x)^3$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目は $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$ の値を求める問題です。

2つ目は $\lim_{x \to +0} x^2 (\log x)^3$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$ を求める。

$\tan x$ のマクローリン展開は

$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \dots$

したがって、

$\tan x - x = \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \dots$

$\frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{15}x^2 + \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{3} + \frac{2}{15}x^2 + \dots) = \frac{1}{3}$

ロピタルの定理を使う場合：

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できる。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^2 x} - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{3x^2 \cos^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{3x^2 \cos^2 x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \cos^2 x} = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

(2) $\lim_{x \to +0} x^2 (\log x)^3$ を求める。

$x = e^{-t}$ とおくと、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$ である。

$\lim_{x \to +0} x^2 (\log x)^3 = \lim_{t \to \infty} e^{-2t} (\log e^{-t})^3 = \lim_{t \to \infty} e^{-2t} (-t)^3 = \lim_{t \to \infty} \frac{-t^3}{e^{2t}}$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なのでロピタルの定理を適用する。

$\lim_{t \to \infty} \frac{-t^3}{e^{2t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{-3t^2}{2e^{2t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{-6t}{4e^{2t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{-6}{8e^{2t}} = 0$

3. 最終的な答え

1つ目の問題の答え：$\frac{1}{3}$

2つ目の問題の答え：$0$