与えられた微分方程式を解く問題です。具体的には、以下の4つの微分方程式とその解が示されています。 (1) $\dot{y} = x$ (2) $\dot{y} = y$ (3) $\dot{y} = x^2y^2$ (4) $y'' + 4y' + 4y = 0$ ここで、$\dot{y}$ は $y$ の $x$ に関する一階微分、$y''$ は $y$ の $x$ に関する二階微分を表します。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。具体的には、以下の4つの微分方程式とその解が示されています。

(1) $\dot{y} = x$

(2) $\dot{y} = y$

(3) $\dot{y} = x^2y^2$

(4) $y'' + 4y' + 4y = 0$

ここで、$\dot{y}$ は $y$ の $x$ に関する一階微分、$y''$ は $y$ の $x$ に関する二階微分を表します。

2. 解き方の手順

(1) $\dot{y} = x$ の解法

$\dot{y} = \frac{dy}{dx}$ より、

$\frac{dy}{dx} = x$

両辺を $x$ で積分すると、

$\int \frac{dy}{dx} dx = \int x dx$

$y = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

ここで、$C_1$ は積分定数です。問題文に示されている解は$y = \frac{1}{6}x^3 + C_1 x + C_2$となっており、誤りです。

(2) $\dot{y} = y$ の解法

$\frac{dy}{dx} = y$

$\frac{dy}{y} = dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{y} = \int dx$

$\ln|y| = x + C$

$|y| = e^{x+C} = e^C e^x$

$y = \pm e^C e^x = A e^x$

ここで、$A = \pm e^C$ は任意定数です。

問題文に示されている解$y = C_1e^x + C_2e^{-x}$ は誤りです。

(3) $\dot{y} = x^2y^2$ の解法

$\frac{dy}{dx} = x^2y^2$

$\frac{dy}{y^2} = x^2 dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{y^2} = \int x^2 dx$

$-\frac{1}{y} = \frac{1}{3}x^3 + C$

$y = -\frac{1}{\frac{1}{3}x^3 + C} = -\frac{3}{x^3 + 3C}$

$y = -\frac{3}{x^3 + C'}$

ここで、$C' = 3C$ は任意定数です。

問題文に示されている解 $y = -\frac{3}{x^3+C}$ は正しいです。

(4) $y'' + 4y' + 4y = 0$ の解法

特性方程式は $r^2 + 4r + 4 = 0$ です。

$(r+2)^2 = 0$

$r = -2$ (重根)

したがって、一般解は $y = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x}$ です。

問題文に示されている解 $y = C_1e^{-2x} + C_2e^{2x}$ は誤りです。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

(2) $y = A e^x$

(3) $y = -\frac{3}{x^3+C}$

(4) $y = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x}$