$a$ は正の定数である。曲線 $y = e^x$ と原点からこの曲線に引いた接線、直線 $x = -a$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数である。曲線 $y = e^x$ と原点からこの曲線に引いた接線、直線 $x = -a$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、原点から曲線 $y = e^x$ に引いた接線を求める。

接点を $(t, e^t)$ とすると、この点における接線の傾きは $y' = e^x$ より $e^t$ である。

したがって、接線の方程式は $y - e^t = e^t (x - t)$ と表せる。

この接線が原点 $(0, 0)$ を通ることから、 $0 - e^t = e^t (0 - t)$ が成り立つ。

これを整理すると、 $-e^t = -t e^t$ となり、$e^t > 0$ より $t = 1$ である。

よって、接点は $(1, e)$ であり、接線の方程式は $y = ex$ となる。

求める面積 $S$ は、直線 $x = -a$ から $x = 0$ の範囲では $x$ 軸との間の面積なので $0$ であり、$x = 0$ から $x = 1$ の範囲では接線 $y = ex$ と $x$ 軸で囲まれた面積、$x = 1$ から $x = -a$ では曲線 $y = e^x$ と $x$ 軸で囲まれた面積を考える。ただし $-a<0$ である。

$x=0$から$x=1$の範囲では接線$y=ex$と$x$軸で囲まれた面積はない。

$x=1$より小さい$-a$から$0$まででは、接線$ex$と$x$軸で囲まれた部分と、曲線$e^x$と$x$軸で囲まれた部分がある。

しかし、今回の問題では、$x=-a$から$x$軸で囲まれた部分の面積を求めればよい。

接点の $x$ 座標は $1$ なので、$x=0$ から $x=1$ までは接線 $y = ex$ が $y = e^x$ より下にある。$x=1$におけるそれぞれの$y$座標はともに$e$である。$x=0$における$y$座標は、接線が$0$で、曲線が$1$なので、接線が下にある。よって、$x = -a$ から $x = 0$ の範囲では、接線と曲線 $y = e^x$ と $x$ 軸で囲まれた面積がある。

したがって、$S$ は次の積分で表される。

$S = \int_{-a}^{0} ex dx + \int_{0}^{1} ex dx - \int_{-a}^{1} e^x dx$

$S = \int_{-a}^{1} ex dx - \int_{-a}^{1} e^x dx$

$S = \int_{-a}^{0} ex dx + \int_{0}^{1} e x dx - \int_{-a}^{1} e^x dx$

$S = [e \frac{x^2}{2}]_{-a}^{1} - [e^x]_{-a}^{1} = e (\frac{1}{2} - \frac{a^2}{2}) - (e - e^{-a}) = \frac{e}{2} - \frac{ea^2}{2} - e + e^{-a} = e^{-a} - \frac{ea^2}{2} - \frac{e}{2}$

$S = \int_{-a}^{0} ex dx + \int_{0}^{1} ex dx - \int_{-a}^{0} e^x dx - \int_{0}^{1} e^x dx$

$S = [\frac{ex^2}{2}]_{-a}^{0} + [\frac{ex^2}{2}]_{0}^{1} - [e^x]_{-a}^{0} - [e^x]_{0}^{1}$

$S = (0 - \frac{ea^2}{2}) + (\frac{e}{2} - 0) - (1 - e^{-a}) - (e - 1)$

$S = -\frac{ea^2}{2} + \frac{e}{2} - 1 + e^{-a} - e + 1$

$S = e^{-a} - \frac{ea^2}{2} - \frac{e}{2}$

3. 最終的な答え

$S = e^{-a} - \frac{ea^2}{2} - \frac{e}{2}$