不等式 $\frac{1}{1+x} < 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} < 1$ が $0 < x < \frac{\pi}{4}$ において成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1}{1+x} < 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} < 1$ が $0 < x < \frac{\pi}{4}$ において成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} < 1$を示します。

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ より、$x > 0$ なので、 $-\frac{x}{2} < 0$ かつ $\frac{x^2}{4} > 0$ です。

$1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} < 1$ は $-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} < 0$ と同値です。

この不等式を解くと、

$-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} = \frac{x}{4}(-2 + x) < 0$

$x > 0$ より、 $-2 + x < 0$ である必要があるので、$x < 2$ が得られます。

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ において $x < 2$ は常に満たされるので、$1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} < 1$ は成り立ちます。

次に、$\frac{1}{1+x} < 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4}$ を示します。

これは、 $1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - \frac{1}{1+x} > 0$ を示すことと同値です。

$1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - \frac{1}{1+x} = \frac{(1+x)(4 - 2x + x^2) - 4}{4(1+x)} = \frac{4 - 2x + x^2 + 4x - 2x^2 + x^3 - 4}{4(1+x)} = \frac{2x - x^2 + x^3}{4(1+x)} = \frac{x(2 - x + x^2)}{4(1+x)}$

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ より、$x > 0$ かつ $1+x > 0$ です。したがって、$\frac{x(2 - x + x^2)}{4(1+x)} > 0$ を示すには、$2 - x + x^2 > 0$ を示せば十分です。

$2 - x + x^2 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4} > 0$ なので、$2 - x + x^2 > 0$ が成り立ちます。

よって、$\frac{1}{1+x} < 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4}$ が成り立ちます。

以上より、$\frac{1}{1+x} < 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} < 1$ が $0 < x < \frac{\pi}{4}$ において成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1+x} < 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} < 1$ は $0 < x < \frac{\pi}{4}$ において成り立つ。