与えられた積分を計算する問題です。 積分は $\int \frac{e^{2x}}{e^x - 1} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。

積分は $\int \frac{e^{2x}}{e^x - 1} dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、$u = e^x$ と置換します。すると、$du = e^x dx$ となり、$dx = \frac{du}{e^x} = \frac{du}{u}$ となります。

したがって、積分は

$$\int \frac{e^{2x}}{e^x - 1} dx = \int \frac{u^2}{u - 1} \frac{du}{u} = \int \frac{u}{u - 1} du$$

となります。

ここで、被積分関数を $\frac{u}{u-1} = \frac{u - 1 + 1}{u - 1} = 1 + \frac{1}{u - 1}$ と変形します。

すると、積分は

$$\int \left(1 + \frac{1}{u - 1}\right) du = \int 1 du + \int \frac{1}{u - 1} du = u + \ln|u - 1| + C$$

となります。

$u = e^x$ を代入して、$e^x + \ln|e^x - 1| + C$ となります。

3. 最終的な答え

$e^x + \ln|e^x - 1| + C$