関数 $f(x) = 2x^2 + 2x + 1$ ($x \ge -\frac{1}{2}$) の逆関数を $g(x)$ とする。 (1) 関数 $g(x)$ の定義域を求めよ。 (2) $g(x)$ を求めよ。 (3) 曲線 $y = g(x)$ 上の点と直線 $y = 2x - 1$ の距離の最小値を求めよ。また、その最小値を与える $y = g(x)$ 上の点を求めよ。

## 問題39

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2 + 2x + 1$ ($x \ge -\frac{1}{2}$) の逆関数を $g(x)$ とする。

(1) 関数 $g(x)$ の定義域を求めよ。

(2) $g(x)$ を求めよ。

(3) 曲線 $y = g(x)$ 上の点と直線 $y = 2x - 1$ の距離の最小値を求めよ。また、その最小値を与える $y = g(x)$ 上の点を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $g(x)$ の定義域を求める。

$g(x)$ の定義域は $f(x)$ の値域である。

$f(x) = 2(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$ であり、$x \ge -\frac{1}{2}$ なので、$f(x) \ge \frac{1}{2}$ となる。したがって、$g(x)$ の定義域は $x \ge \frac{1}{2}$ である。

(2) $g(x)$ を求める。

$y = 2x^2 + 2x + 1$ とおく。$x$ について解くと、

$2x^2 + 2x + (1 - y) = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8(1-y)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{2y - 1}}{2}$

$x \ge -\frac{1}{2}$ より、$x = \frac{-1 + \sqrt{2y - 1}}{2}$

したがって、$g(x) = \frac{-1 + \sqrt{2x - 1}}{2}$

(3) 曲線 $y = g(x)$ 上の点と直線 $y = 2x - 1$ の距離の最小値を求める。

曲線 $y = g(x)$ 上の点を $(t, g(t))$ とすると、$(t, \frac{-1 + \sqrt{2t - 1}}{2})$ である。

直線 $y = 2x - 1$ は $2x - y - 1 = 0$ と表せる。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|2t - (\frac{-1 + \sqrt{2t - 1}}{2}) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4t + 1 - \sqrt{2t - 1} - 2|}{2\sqrt{5}} = \frac{|4t - 1 - \sqrt{2t - 1}|}{2\sqrt{5}}$

ここで、$u = \sqrt{2t - 1}$ とおくと、$u^2 = 2t - 1$ より、$t = \frac{u^2 + 1}{2}$ となる。

$d = \frac{|4(\frac{u^2 + 1}{2}) - 1 - u|}{2\sqrt{5}} = \frac{|2u^2 - u + 1|}{2\sqrt{5}} = \frac{2(u - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8}}{2\sqrt{5}}$

$u = \frac{1}{4}$ のとき、最小値 $\frac{7}{16\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{80}$ をとる。

このとき、$t = \frac{(\frac{1}{4})^2 + 1}{2} = \frac{\frac{1}{16} + 1}{2} = \frac{17}{32}$

$g(\frac{17}{32}) = \frac{-1 + \sqrt{2(\frac{17}{32}) - 1}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{\frac{17}{16} - 1}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{\frac{1}{16}}}{2} = \frac{-1 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{-\frac{3}{4}}{2} = -\frac{3}{8}$

求める点は$(\frac{17}{32}, -\frac{3}{8})$

3. 最終的な答え

(1) $x \ge \frac{1}{2}$

(2) $g(x) = \frac{-1 + \sqrt{2x - 1}}{2}$

(3) 最小値: $\frac{7\sqrt{5}}{80}$, 点: $(\frac{17}{32}, -\frac{3}{8})$