与えられた極限の値を求める問題です。具体的には、以下の式で表される数列の極限を求めます。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left\{ \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^2} + \frac{1}{(1 + \frac{2}{n})^2} + \cdots + \frac{1}{(1 + \frac{n}{n})^2} \right\}$

1. 問題の内容

与えられた極限の値を求める問題です。具体的には、以下の式で表される数列の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left\{ \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^2} + \frac{1}{(1 + \frac{2}{n})^2} + \cdots + \frac{1}{(1 + \frac{n}{n})^2} \right\}$

2. 解き方の手順

この極限は、リーマン和を用いて定積分に変換することで計算できます。

まず、与えられた式をシグマ記号を用いて書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + \frac{k}{n})^2}$

ここで、$x_k = \frac{k}{n}$ とおくと、$dx = \frac{1}{n}$ となります。$k$ が $1$ から $n$ まで変化するとき、$x_k$ は $\frac{1}{n}$ から $\frac{n}{n} = 1$ まで変化します。したがって、$n \to \infty$ のとき、積分範囲は $0$ から $1$ になります。

すると、上記の極限は以下の定積分で表されます。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x)^2} dx$

次に、この定積分を計算します。置換積分を用いて、$u = 1 + x$ とおくと、$du = dx$ となります。積分範囲は、$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=2$ となります。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^2} du = \int_{1}^{2} u^{-2} du = \left[ -u^{-1} \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$