次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int x^2 \sqrt{x^3 + 2} dx$ (2) $\int \sin^3 x \cos x dx$ (3) $\int \frac{\log x}{x} dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int x^2 \sqrt{x^3 + 2} dx$

(2) $\int \sin^3 x \cos x dx$

(3) $\int \frac{\log x}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x^2 \sqrt{x^3 + 2} dx$

$u = x^3 + 2$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = 3x^2$ となり、$dx = \frac{du}{3x^2}$ です。

よって、積分は次のようになります。

$\int x^2 \sqrt{u} \frac{du}{3x^2} = \frac{1}{3} \int \sqrt{u} du = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

$u = x^3 + 2$ を代入して、

$\frac{2}{9} (x^3 + 2)^{\frac{3}{2}} + C$

(2) $\int \sin^3 x \cos x dx$

$u = \sin x$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = \cos x$ となり、$dx = \frac{du}{\cos x}$ です。

よって、積分は次のようになります。

$\int u^3 \cos x \frac{du}{\cos x} = \int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C$

$u = \sin x$ を代入して、

$\frac{\sin^4 x}{4} + C$

(3) $\int \frac{\log x}{x} dx$

$u = \log x$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ となり、$dx = x du$ です。

よって、積分は次のようになります。

$\int \frac{u}{x} x du = \int u du = \frac{u^2}{2} + C$

$u = \log x$ を代入して、

$\frac{(\log x)^2}{2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9} (x^3 + 2)^{\frac{3}{2}} + C$

(2) $\frac{\sin^4 x}{4} + C$

(3) $\frac{(\log x)^2}{2} + C$