次の関数について、$n=4$ までの有限マクローリン展開を求めます。 (1) $\sin x$ (2) $\sqrt{1+x}$ (3) $x\sin x$ (4) $\frac{x}{1+x}$

1. 問題の内容

次の関数について、$n=4$ までの有限マクローリン展開を求めます。

(1) $\sin x$

(2) $\sqrt{1+x}$

(3) $x\sin x$

(4) $\frac{x}{1+x}$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ に対して次の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \dots$

(1) $f(x) = \sin x$ の場合:

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(x) = \cos x$, $f'(0) = \cos(0) = 1$

$f''(x) = -\sin x$, $f''(0) = -\sin(0) = 0$

$f'''(x) = -\cos x$, $f'''(0) = -\cos(0) = -1$

$f''''(x) = \sin x$, $f''''(0) = \sin(0) = 0$

したがって、

$\sin x = 0 + 1\cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \dots = x - \frac{x^3}{6} + \dots$

(2) $f(x) = \sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2}$ の場合:

$f(0) = \sqrt{1+0} = 1$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$, $f'(0) = \frac{1}{2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$, $f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-5/2}$, $f'''(0) = \frac{3}{8}$

$f''''(x) = -\frac{15}{16}(1+x)^{-7/2}$, $f''''(0) = -\frac{15}{16}$

したがって、

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}\cdot\frac{1}{6}x^3 - \frac{15}{16}\cdot\frac{1}{24}x^4 + \dots = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \dots$

(3) $f(x) = x\sin x$ の場合:

$\sin x$ のマクローリン展開は既に求めたので、それに $x$ を掛ければよい。

$x\sin x = x\left(x - \frac{x^3}{6} + \dots\right) = x^2 - \frac{x^4}{6} + \dots$

(4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$ の場合:

$f(x) = x(1+x)^{-1}$ と考えると、

$f(0) = 0$

$f'(x) = (1+x)^{-1} - x(1+x)^{-2} = \frac{1}{1+x} - \frac{x}{(1+x)^2}$, $f'(0) = 1$

$f''(x) = -(1+x)^{-2} - (1+x)^{-2} + 2x(1+x)^{-3} = -\frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{(1+x)^2} + \frac{2x}{(1+x)^3}$, $f''(0) = -2$

$f'''(x) = 2(1+x)^{-3} + 2(1+x)^{-3} + 2(1+x)^{-3} -6x(1+x)^{-4} = \frac{2}{(1+x)^3} + \frac{2}{(1+x)^3} + \frac{2}{(1+x)^3} - \frac{6x}{(1+x)^4}$, $f'''(0) = 6$

$f''''(x) = -6(1+x)^{-4} -6(1+x)^{-4} -6(1+x)^{-4} -6(1+x)^{-4} + 24x(1+x)^{-5} = -\frac{6}{(1+x)^4} -\frac{6}{(1+x)^4} -\frac{6}{(1+x)^4} - \frac{6}{(1+x)^4} + \frac{24x}{(1+x)^5}$, $f''''(0) = -18$

したがって、

$\frac{x}{1+x} = 0 + 1\cdot x + \frac{-2}{2}x^2 + \frac{6}{6}x^3 + \frac{-18}{24}x^4 + \dots = x - x^2 + x^3 - \frac{3}{4}x^4 + \dots$

または、

$\frac{x}{1+x} = x(1-x+x^2-x^3+...) = x - x^2 + x^3 - x^4 + ...$

3. 最終的な答え

(1) $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

(2) $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + O(x^5)$

(3) $x\sin x = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)$

(4) $\frac{x}{1+x} = x - x^2 + x^3 - x^4 + O(x^5)$