問題は、次の2つの関数 $\sin x$ と $\sqrt{1+x}$ の有限マクローリン展開を、$n=4$ のときまで書き表すことです。

1. 問題の内容

問題は、次の2つの関数 $\sin x$ と $\sqrt{1+x}$ の有限マクローリン展開を、$n=4$ のときまで書き表すことです。

2. 解き方の手順

(1) $\sin x$ のマクローリン展開

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでべき級数で表すものです。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \cdots$

ここで、$f(x) = \sin x$ とすると、次のようになります。

$f(x) = \sin x$

$f'(x) = \cos x$

$f''(x) = -\sin x$

$f'''(x) = -\cos x$

$f^{(4)}(x) = \sin x$

したがって、$x=0$ での各導関数の値は次のようになります。

$f(0) = \sin 0 = 0$

$f'(0) = \cos 0 = 1$

$f''(0) = -\sin 0 = 0$

$f'''(0) = -\cos 0 = -1$

$f^{(4)}(0) = \sin 0 = 0$

これらをマクローリン展開の式に代入すると、

$\sin x = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$n=4$ のときまで書き表すと、

$\sin x = x - \frac{x^3}{6}$

(2) $\sqrt{1+x}$ のマクローリン展開

$f(x) = \sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}}$ とすると、次のようになります。

$f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(1+x)^{-\frac{7}{2}}$

したがって、$x=0$ での各導関数の値は次のようになります。

$f(0) = (1+0)^{\frac{1}{2}} = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}(1+0)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

$f''(0) = -\frac{1}{4}(1+0)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4}$

$f'''(0) = \frac{3}{8}(1+0)^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8}$

$f^{(4)}(0) = -\frac{15}{16}(1+0)^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{16}$

これらをマクローリン展開の式に代入すると、

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{-\frac{1}{4}}{2!}x^2 + \frac{\frac{3}{8}}{3!}x^3 + \frac{-\frac{15}{16}}{4!}x^4 + \cdots$

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \cdots$

$n=4$ のときまで書き表すと、

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \frac{5x^4}{128}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin x = x - \frac{x^3}{6}$

(2) $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \frac{5x^4}{128}$