SENSEI AI
About App

与えられた2つの微分方程式を解く問題です。 (1) $y'' = x$ (2) $y'' = y$

解析学微分方程式積分特性方程式一般解
2025/6/19

1. 問題の内容

与えられた2つの微分方程式を解く問題です。
(1) y′′=xy'' = x
(2) y′′=yy'' = y

2. 解き方の手順

(1) y′′=xy'' = x の解法：
まず、y′′=xy''=x を積分します。
∫y′′dx=∫xdx\int y'' dx = \int x dx
y′=12x2+C1y' = \frac{1}{2}x^2 + C_1
次に、y′y' を積分します。
∫y′dx=∫(12x2+C1)dx\int y' dx = \int (\frac{1}{2}x^2 + C_1) dx
y=16x3+C1x+C2y = \frac{1}{6}x^3 + C_1x + C_2
(2) y′′=yy'' = y の解法：
この微分方程式は、特性方程式を用いて解くことができます。
特性方程式は r2=1r^2 = 1 となります。
この方程式の解は r=1r = 1 と r=−1r = -1 です。
したがって、一般解は
y=C1ex+C2e−xy = C_1e^x + C_2e^{-x}

3. 最終的な答え

(1) y=16x3+C1x+C2y = \frac{1}{6}x^3 + C_1x + C_2
(2) y=C1ex+C2e−xy = C_1e^x + C_2e^{-x}

「解析学」の関連問題

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 (1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\cos \theta = -\...

三角関数方程式三角方程式角度
2025/6/19

与えられた3つの関数 $y = 2\sin\theta$、$y = \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$、$y = \cos2\theta$ について、それぞれグラフの概形を、選...

三角関数グラフ周期振幅
2025/6/19

次の微分を計算します。 $\frac{d}{dt} \left[ \left( 5 + \frac{d}{dt} \right) \left( \sin(5t-2) - \cos(5t-2) \rig...

微分三角関数
2025/6/19

三角関数の値を求める問題と、sinθとcosθのグラフに関する問題です。 具体的には、 (1) $\sin\frac{7}{3}\pi$ (2) $\tan(-\frac{\pi}{6})$ (3) ...

三角関数sincostan周期グラフ度数法
2025/6/19

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、以下の(1)方程式と(2)不等式を解く。 (1) $\sin 2x = \cos x$ (2) $2\cos 2x + 8\sin x - 5 \le 0$

三角関数方程式不等式三角関数の合成解の範囲
2025/6/19

与えられた関数について、$n$次導関数を求める問題です。ここでは、問題番号(6),(7),(8)を解きます。 (6) $y = x^2 \cos(2x)$ (7) $y = \frac{1}{x^2 ...

微分導関数ライプニッツの公式部分分数分解
2025/6/19

与えられた各関数のn次導関数（n ≥ 1）を求める問題です。ここでは、関数 (1) $y = \frac{1}{1+x}$、(2) $y = \log(1-x)$、(3) $y = (1+x)^a$、...

導関数微分ライプニッツの公式
2025/6/19

与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 2} \frac{\log(\cos(x-2))}{1-\sin(\frac{\pi x}{4})}$ (2) $\lim_{...

極限ロピタルの定理対数関数三角関数
2025/6/19

与えられた関数について、$n$ 次導関数 ($n \ge 1$)を求める問題です。ここでは、問題番号2の関数、$y = \log(1-x)$ について解きます。

微分導関数対数関数数学的帰納法
2025/6/19

以下の4つの関数の導関数 $y'$ を求めます。 * $y = 3^x (x^2 + x)$ * $y = x^2 \cos(2x)$ * $y = \frac{1}{x^2 - x - ...

微分導関数積の微分商の微分合成関数
2025/6/19