与えられた積分 $\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分法を用いて解きます。

まず、$u = 5x + 2$ とおきます。

このとき、$\frac{du}{dx} = 5$ となるので、$dx = \frac{1}{5} du$ となります。

積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^{-3} du$

$u^{-3}$ の積分は次のようになります。

$\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C$

したがって、

$\frac{1}{5} \int u^{-3} du = \frac{1}{5} \left( -\frac{1}{2u^2} \right) + C = -\frac{1}{10u^2} + C$

最後に、$u = 5x + 2$ を代入します。

$-\frac{1}{10u^2} + C = -\frac{1}{10(5x+2)^2} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx = -\frac{1}{10(5x+2)^2} + C$