曲線 $y = \frac{\log x}{x}$ と直線 $x=e$ および $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{\log x}{x}$ と直線 $x=e$ および $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

$x$軸周りの回転体の体積$V$は、以下の式で表されます。

$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$

ここで、$a$と$b$は積分範囲（$x$軸との交点）を示します。

与えられた曲線$y = \frac{\log x}{x}$において、$y=0$となる$x$を求めます。

$\frac{\log x}{x} = 0$

$\log x = 0$

$x = 1$

したがって、積分範囲は、$1 \le x \le e$ となります。

$V = \pi \int_{1}^{e} (\frac{\log x}{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x^2} dx$

ここで、部分積分を用います。

$u = (\log x)^2$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とすると

$du = 2 (\log x) \frac{1}{x} dx$, $v = -\frac{1}{x}$

したがって、

$\int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x^2} dx = [-\frac{(\log x)^2}{x}]_1^e + \int_1^e \frac{2\log x}{x^2}dx$

$= [-\frac{(\log e)^2}{e} - (-\frac{(\log 1)^2}{1})] + 2\int_1^e \frac{\log x}{x^2}dx$

$= [-\frac{1}{e} - 0] + 2\int_1^e \frac{\log x}{x^2}dx = -\frac{1}{e} + 2\int_1^e \frac{\log x}{x^2}dx$

再度部分積分を行います。

$u = \log x$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = -\frac{1}{x}$

$\int_1^e \frac{\log x}{x^2}dx = [-\frac{\log x}{x}]_1^e + \int_1^e \frac{1}{x^2}dx$

$= [-\frac{\log e}{e} - (-\frac{\log 1}{1})] + [-\frac{1}{x}]_1^e$

$= [-\frac{1}{e} - 0] + [-\frac{1}{e} - (-1)]$

$= -\frac{1}{e} -\frac{1}{e} + 1 = 1 - \frac{2}{e}$

よって、

$\int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x^2} dx = -\frac{1}{e} + 2(1-\frac{2}{e}) = -\frac{1}{e} + 2 - \frac{4}{e} = 2 - \frac{5}{e}$

$V = \pi(2-\frac{5}{e})$

3. 最終的な答え

$V = \pi(2 - \frac{5}{e})$