$n$ が奇数のとき、$\sin x$ が以下の式で与えられます。 $$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!}x^n \quad (0 < \theta < 1)$$ $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求めよ。

1. 問題の内容

$n$ が奇数のとき、$\sin x$ が以下の式で与えられます。

$$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!}x^n \quad (0 < \theta < 1)$$

$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin x$ の近似式が与えられているので、これを用いて$\sin \frac{1}{3}$を計算します。

$\sin x$ のTaylor展開

$$$$

\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

$$$$

を利用します。問題の式と比較すると、$n$ は近似の次数を表しています。

精度を上げるためには、$n$を大きくする必要がありますが、ここでは小数第4位までの精度が必要なので、$n=3, 5, 7$ で試してみます。

$n=3$ の場合、$\ell$ は $0$ しか取れません。したがって、

$$$$

\sin x \approx \frac{(-1)^0}{(2(0)+1)!} x^{2(0)+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{3\pi}{2}\right)}{3!} x^3 = x + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{3\pi}{2}\right)}{6} x^3

$$$$

$x=\frac{1}{3}$ を代入すると、

$$$$

\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{6} \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{6} \frac{1}{27} = \frac{1}{3} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{162}

$$$$

$0 < \theta < 1$ なので、$-\frac{1}{162} < \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{162} < 0$

$-\frac{1}{162} \approx -0.00617$

したがって、$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - 0.00617 \approx 0.3333 - 0.00617 = 0.32713$

$n=5$ の場合、$\ell$ は $0, 1$ を取ります。

$$$$

\sin x \approx \sum_{\ell=0}^{1} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{5\pi}{2}\right)}{5!} x^5 = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{5\pi}{2}\right)}{5!} x^5

$$$$

$x=\frac{1}{3}$ を代入すると、

$$$$

\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{6} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{120} \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{120 \cdot 243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{29160}

$$$$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3333 - 0.00617 + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{29160}$

$\frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{29160}$ は小さいので無視すると、

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.32713$

ここで、$x=\frac{1}{3}$ のときの実際の$\sin x$ の値を計算すると、

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.32719469759616565002871686761522$

小数第4位まで求めるので、0.3272となります。

3. 最終的な答え

0. 3272