次の定積分の値を求めよ。 (1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx$ (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めよ。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2 x = t$ と置換すると、$\sin 2x dx = 2 \sin x \cos x dx = dt$ となる。

積分範囲は、$x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ に対して、$t: 0 \to 1$ となる。

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + t} dt$

$= [\log(1+t)]_{0}^{1} = \log 2 - \log 1 = \log 2$

(2)

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx$

$\cos x = t$ と置換すると、$-\sin x dx = dt$ となる。

積分範囲は、$x: 0 \to \frac{\pi}{3}$ に対して、$t: 1 \to \frac{1}{2}$ となる。

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx = \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{t^2}{1 + t} (-dt) = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{t^2}{1 + t} dt$

$\frac{t^2}{1+t} = \frac{t^2 - 1 + 1}{1+t} = \frac{(t-1)(t+1) + 1}{1+t} = t - 1 + \frac{1}{1+t}$

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{t^2}{1 + t} dt = \int_{\frac{1}{2}}^{1} (t - 1 + \frac{1}{1+t}) dt = [\frac{1}{2}t^2 - t + \log(1+t)]_{\frac{1}{2}}^{1}$

$= (\frac{1}{2} - 1 + \log 2) - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \log \frac{3}{2}) = -\frac{1}{2} + \log 2 - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} - \log \frac{3}{2} = -\frac{1}{8} + \log \frac{2}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{8} + \log \frac{4}{3}$

(3)

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx$

$\cos x = t$ と置換すると、$-\sin x dx = dt$ となる。

積分範囲は、$x: 0 \to \frac{\pi}{6}$ に対して、$t: 1 \to \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx = \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{t^3} (-dt) = \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \frac{1}{t^3} dt = \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} t^{-3} dt$

$= [\frac{t^{-2}}{-2}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} = [-\frac{1}{2t^2}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2(\frac{3}{4})} = -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\log 2$

(2) $-\frac{1}{8} + \log \frac{4}{3}$

(3) $\frac{1}{6}$